6. Квадратичные формы и их свойства. (Канатников А.Н., Крищенко А.П. - Конспект лекций), страница 3

. , (−1)n ∆n > 0 (знаки угловых миноров чередуются начиная с минуса).ÔÍ-12J Н е о б х о д и м о с т ь. Если нарушаются все три условия доказываемого следствия, то уматрицы квадратичной формы все четные угловые миноры положительны, а все нечетные ненулевые и имеют одинаковые знаки. В таком случае выполняются либо условия теоремы 6.5, либоусловия следствия 6.1, т.е. квадратичная форма знакоопределенная.

Значит, для знакопеременной квадратичной формы выполняется хотя бы одно из условий доказываемого утверждения.ÌÃÒÓСледствие 6.2. Невырожденная квадратичная форма знакопеременна тогда и только тогда, когда для матрицы квадратичной формы выполнено хотя бы одно из условий:– один из угловых миноров равен нулю;– один из угловых миноров четного порядка отрицателен;– два угловых минора нечетного порядка имеют разные знаки.ÔÍ-12J Если квадратичная форма f (x) отрицательно определена, то квадратичная форма −f (x) положительно определена, и наоборот.

Матрицей квадратичной формы −f (x) является матрица−A, противоположная матрице A квадратичной формы f (x). Согласно критерию Сильвестра,для положительной определенности квадратичной формы −f (x) необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры ∆0r , r = 1, n, матрицы −A были положительны. Но при умноженииматрицы A на число −1 все ее элементы умножаются на это число и поэтому ∆0r = (−1)r ∆r ,где ∆r — угловой минор порядка r матрицы A. Таким образом, квадратичная форма −f (x)положительно определена тогда и только тогда, когда выполнены неравенства (−1)r ∆r > 0,r = 1, n, и это условие эквивалентно тому, что квадратичная форма f (x) отрицательно определена. IÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12Как видим, угловой минор порядка k расположен на пересечении первых k строк и первых kстолбцов матрицы.

Угловой минор максимального, n-го порядка представляет собой определитель матрицы.ÌÃÒÓÌÃÒÓгде aij = aji , i, j = 1, n. Рассмотрим угловые миноры этой матрицы (которые также называют главными минорами): a11 . . . a1n a11 a12 , . . . , ∆n = . . . . . . . .∆1 = a11 , ∆2 = a21 a22 an1 . . . ann ÌÃÒÓÔÍ-12Хотя эта таблица дает удобную характеристику типам квадратичных форм, ее использование для определения типа конкретной квадратичной формы связано с вычислением собственныхзначений матрицы.

А это достаточно трудоемкая операция. На самом деле во многих случаяхтип квадратичной формы можно определить, не вычисляя собственных значений ее матрицы.Метод состоит в вычислении и проверке знаков некоторых миноров матрицы квадратичнойформы. Введем следующие обозначения.тПусть матрица квадратичной формы f (x) = x Ax имеет видa11 a12 . . . a1n a21 a22 . . . a2n A= . . . . . .

. . . . ,an1 an2 . . . annÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓ74ÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 6. КВАДРАТИЧНЫЕФОРМЫ И ИХÌÃÒÓСВОЙСТВАÌÃÒÓÌÃÒÓ75ÔÍ-12Критерий Сильвестра и его следствия показывают, что тип квадратичной формы полностьюопределяется свойствами ее матрицы. Поэтому термины, введенные определением 6.3, можноперенести на симметрические матрицы. В частности, симметрическую матрицу A называютположительно (отрицательно) определенной и пишут A > 0 (A < 0), если положительно (отрицательно) определена соответствующая квадратичная форма. Согласно теореме6.5 и ее следствиям, симметрическая матрица положительно определена, если все ее угловыеминоры положительны.

Симметрическая матрица отрицательно определена, если у ее угловыхминоров знаки чередуются начиная со знака минус.ÌÃÒÓJ Если A = (aij ) — симметрическая положительно определенная матрица порядка n, то еепервый угловой минор положителен, т.е. a11 = ∆1 > 0. Воспользовавшись тем, что утверждение следствия верно для диагонального элемента a11 , докажем что и aii > 0 при i > 1. Вттквадратичной форме x Ax, x = (x1 x2 . . . xn ) сделаем замену переменныхx1 = yi ,xi = y 1 ,В новых переменных матрица A0 = (a0ij ) квадратичной формы такова, что aii = a011 > 0.

IРассмотрим примеры на применение критерия Сильвестра.трех переменных с матрицей0 −11113положительно определена, так как ∆1 = ∆2 = ∆3 = 1 > 0.тПример 6.8. Квадратичная форма x Ax от трех переменных с матрицей1 −311 −1 A =  −31 −15является знакопеременной, так как она невырождена (∆3 6= 0) и ∆1 = 1 > 0, а ∆2 = −8 < 0.Пример 6.9. Квадратичная форма 2x1 x2 от двух переменных является знакопеременной,так как она невырождена (∆2 = −1 6= 0), а ∆1 = 0.f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x1 + x3 )2 − x22 − (x1 − x3 )2 + (x2 + x4 )2 .ÔÍ-12Пример 6.10. Квадратичная форма f (x1 , x2 , x3 , x4 ) = 4x1 x3 + 2x2 x4 + x24 имеет угловыеминоры ∆1 = ∆2 = ∆3 = 0, ∆4 = 4 и, согласно следствию 6.2, является знакопеременной. Вэтом можно убедиться, используя несложное преобразование вида квадратичной формы:ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓПример 6.7.

Квадратичная форма x Ax от10A=−1ÔÍ-12ÔÍ-12тÔÍ-12xj = yj при j 6= 1, i.ÌÃÒÓÌÃÒÓСледствие 6.3. Если симметрическая матрица положительно определена, то все ее диагональные элементы положительны.ÌÃÒÓÔÍ-12Д о с т а т о ч н о с т ь. Невырожденная квадратичная форма может быть либо положительноопределенной, либо отрицательно определенной, либо знакопеременной — в зависимости отзнаков коэффициентов в ее каноническом виде. Если имеется нулевой угловой минор или одиниз угловых миноров четного порядка отрицателен, то, согласно теореме 6.5 и следствию 6.1,эта квадратичная форма не является ни положительно, ни отрицательно определенной. То жеможно утверждать и в случае, когда есть два угловых минора нечетного порядка с разнымизнаками. Значит, в этих случаях квадратичная форма знакопеременная.

IÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ЛЕКЦИЯ 6. КВАДРАТИЧНЫЕФОРМЫ И ИХÌÃÒÓСВОЙСТВАÌÃÒÓÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ОГЛАВЛЕНИЕ. . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .. . . . . . . .форм . . . .. . . . . . . .. . . . . . . ..................................... . . . .. . . . . .. . . . .

.. . . . . .. . . . . .. . . . . .. . . . . .....................67676869707273ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12Квадратичные формы и их свойства . .Определение квадратичной формы . . . . . . .Преобразование квадратичных форм . . . . . .Квадратичные формы канонического вида . .Ортогональные преобразования квадратичныхЗакон инерции . . .

. . . . . . . . . . . . . . . .Критерий Сильвестра . . . . . . . . . . . . . .ÔÍ-1276ÌÃÒÓЛекция 6.6.1.6.2.6.3.6.4.6.5.6.6.ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÔÍ-12ÔÍ-12ÌÃÒÓÌÃÒÓÔÍ-12ÌÃÒÓ.