Мартинсон Л.К., Смирнов Е.В. - Элементы квантовой механики (1076138), страница 4

Просмтор этого файла доступен только зарегистрированным пользователям. Но у нас супер быстрая регистрация: достаточно только электронной почты!

Текст из файла (страница 4)

выполнение равенства∧ ∧∧ ∧∧ ∧F,GFGGF =0(4.10)≡−∧∧∧ ∧Оператор  F , G  называется коммутатором операторов F и G .Примеры решения задачЗадача 4.1. Частица массой m0 находится в одномерной бесконечно глубокой прямоугольнойпотенциальной яме шириной a в первом возбужденном состоянии. Найдите среднее значе2ние проекции импульса частицы <px> и квадрата импульса <px >.Решение.

Волновая функция частицы в одномерной бесконечно глубокой прямоугольной потенциальной яме имеет вид (см. (3.3))ψ n (x ) =2n πxsinaaгде n =1, 2, 3, ... . Первому возбужденному состоянию частицы соответствует значение n = 2.Решим сначала задачу в общем случае для произвольного значения квантового числа n , апотом в полученное решение подставим значение n =2.Согласно (4.9) среднее значение проекции импульсаapx∧! 2= ∫ ψ p x ψ n dx =⋅ia0*na∫sin0!πnxsin 2=iaaπ nx ∂ π nx  dx = sina ∂x a a=00Таким образом, <px> =0- Существенно, что ответ не зависит от n , т.е. от уровня, на которомнаходится частица в потенциальной яме.

Более того, можно показать, что результат, полученный здесь для конкретного вида потенциальной ямы, оказывается справедливым и дляболее общего случая: среднее значение проекции импульса частицы, которая в стационарномсостоянии имеет дискретный энергетический спектр, равно нулю.Интересно отметить, что значение <px> =0 для частицы в яме получается и в классическоймеханике. Для классической частицы этот результат очевиден, так как частица движетсявдоль одной оси, отражаясь от стенок ямы, а ее импульс направлен то в одну, то в другую,противоположную первоначальной, сторону.

Поэтому среднее значение <px> равно нулю.2Вычислим теперь среднее значение квадрата импульса <px >. Поскольку мы имеем дело содномерным случаем, то∂2p = p = −!∂x 2∧22∧2x2В соответствии с (4.9) для <px > находимap2∧2a2= ∫ ψ p ψ n dx = − ! ⋅a0*n∫20π nx ∂ 2 π nx sinsin dx =2 a ∂x a  2 !  π n  a2! 2 πn 2 a2 πnx−sindx == −⋅a aa a22a 2  ∫022Таким образом.

p =22π2! 2 n2a2Подставляя значение n =2, получаем окончательный ответp2n=2=4π2! 2a2Отметим, что хотя среднее значение проекции импульса <px> равно нулю, среднее значение2квадрата импульса <px > отлично от нуля.Задача 4.2. Определите возможные результаты измерения проекции момента импульса LZ иих вероятности для частицы, находящейся в состоянии, описываемом волновой функциейψ = A cos2 ϕ , где ϕ - азимутальный угол.Решение. Прежде всего найдем нормировочную константу А Из условия нормировки следует, что2π∫ ψ (ϕ)ψ(ϕ)dϕ =*02πПоскольку∫ cos04A22π∫ cos4ϕdϕ = 10ϕdϕ =3π42то для А получаем следующее значение: A =ψ (ϕ ) =∧3π23π.

Таким образом,cos 2 ϕОператор проекции момента импульса L z в сферических координатах оператора имеетвид:∧! ∂Lz =i ∂ϕа его нормированные собственные функции и собственные значения определяются выраже-ниями [1]um (ϕ ) =12πe imϕ , LZ = m!где m = 0, ±1, ±2, ... , Разложим волновую функцию ψ(ϕ) по собственным функциям операто∧ра L z :ψ (ϕ ) =23πcos 2 ϕ =23π⋅1 + cos 2ϕ1 + cos 2 ϕ=23πВ соответствии с формулой Эйлераe iα = cos α + i sin αi2ϕпредставим cos2ϕ следующим образом: cos2ϕ=(e+ e - i2ϕ )/2 При этом разложениеволновой функции ψ(ϕ) принимает следующий вид:1 1 i 2ϕ12 1ψ (ϕ ) =+ e − i 2ϕ  =e i ⋅0⋅ϕ +1 + e2233π 2π=2u0 (ϕ ) +31u+ 2 (ϕ ) +61612πe i ⋅2⋅ϕ +1612π1u− 2 (ϕ )6e − i ⋅2⋅ϕ =(4.11)∧Поскольку в разложении (4.11) присутствуют только собственные функции оператора L z ,отвечающие значением m=0 и т = ±2, то это означает, что из всего спектра собственных∧значений оператора L z для частицы, находящейся в данном состоянии, реализуются:L Z = 0 , LZ = 2 ! , LZ = − 2 !Именно эти значения и будут найдены в результате измерений.

Вероятность получить приизмерении какое-либо одно из них определяется, согласно (4.8), квадратом модуля коэффициента разложения волновой функции ψ(ϕϕ) по соответствующей собственной функцииum(ϕ). Как следует из (4.11) ,211P (0 ) = , P (2! ) = , P (− 2! ) =3665. ЗАДАЧИ ДОМАШНЕГО ЗАДАНИЯ(Студент решает задачи, номера которых определяются из таблицы вариантов, предлагаемойкафедрой физики)1. На какую кинетическую энергию должен быть рассчитан ускоритель заряженных частиц с массой покоя m0 , чтобы с их помощью можно было исследовать структуры с линейными размерами l ? Решить задачу для электронов и протонов в случае l = 10 −15 м,что соответствует характерному размеру атомных ядер.2.

При каком значении кинетической энергии дебройлевская длина волны электрона равна его комптоновской длине волны?3. Электрон с длиной волны де Бройля λ1 = 100 пм, двигаясь в положительном направлении оси x , встречает на своем пути прямоугольный порог высотой U = 100 эВ . Определите длину волны де Бройля частицы после прохождения порога.4. Поток нейтронов проходит через узкие радиальные щели в двух дисках из кадмия,поглощающего нейтроны. Диски насажены на общую ось так, что щели повернуты друготносительно друга на угол α .

Диски вращаются с угловой скоростью ω = 400 рад/c,расстояние между ними L = 1 м . Найти угол α , если длина волны де Бройляпропускаемых таким устройством нейтронов равна λ = 0,1 нм .5. Электрон, прошедший ускоряющую разность потенциалов U = 50 В , попадает извакуума в металл, внутренний потенциал которого ϕ = 5 В . Найдите показатель преломления металла ne для электронной волны де Бройля.6. Условие Брэгга-Вульфа с учетом преломления электронных волн в кристалле имеет2вид 2d ne − cos 2 θ = kλ , где d - межплоскостное расстояние, ne - показатель преломления, θ - угол скольжения, k - порядок отражения.

Найдите с помощью этого условиявнутренний потенциал ϕ монокристалла серебра, если пучок электронов, ускоренныйразностью потенциалов U = 85 В, образует максимум 2-го порядка при брэгговскомотражении от кристаллических плоскостей с d = 0,204 нм под углом θ = 30 0 .7. Коллимированный пучок электронов, прошедших ускоряющую разность потенциаловU = 30 кВ, падает нормально на тонкую поликристаллическую фольгу золота. На фотопластинке, расположенной за фольгой на расстоянии l = 20 см от нее, получена дифракционная картина, состоящая из ряда концентрических окружностей.

Радиус первойокружности r = 3,4 мм. Определите: а) брэгговский угол θ Б , соответствующий первойокружности ; б) длину волны де Бройля электронов λ ; в) постоянную d кристаллической решетки золота.8. Параллельный пучок электронов, ускоренных разностью потенциалов U = 25 В, падает нормально на диафрагму с двумя узкими щелями, расстояние между которыми d = 50мкм.

Определите расстояние между соседними максимумами интерференционной картины на экране, отстоящем от щелей на расстоянии L = 100 см.9. Узкий пучок электронов, прошедших ускоряющую разность потенциалов U = 50 В,падает нормально на поверхность некоторого монокристалла. Определите, под каким углом к нормали к поверхности кристалла наблюдается максимум отражения электроновпервого порядка, если расстояние между отражающими атомными плоскостями кристалла составляет d = 0,2 нм.10.

Нерелятивистская частица массой m1 , обладающая кинетической энергией E K ,налетает на покоящуюся частицу массой m2 . Найдите дебройлевские длины волн обеихчастиц в системе их центра масс.11. Считая, что минимальная энергия Е нуклона (протона или нейтрона) в ядре равна10 МэВ, оцените, исходя из соотношения неопределенностей, линейные размеры ядра.12.

Кинетическая энергия электрона в атоме водорода составляет величину порядка 10эВ. Используя соотношение неопределенностей, оцените минимальные линейные размеры атома.13. Покажите, используя соотношение неопределенностей, что электроны не могут входить в состав атомного ядра.

Линейные размеры ядра считать равными 5 ⋅ 10 −15 м, аэнергию связи нуклонов в ядре равной 10 МэВ.14. Покажите, что соотношения неопределенностей позволяют сделать вывод обустойчивости атома, т.е. о том, что электрон при движении по круговой орбите не можетупасть на ядро.15. Свободно движущаяся нерелятивистская частица имеет относительную неопределенность кинетической энергии порядка 1,6 ⋅ 10 −4 . Оцените, во сколько раз неопределенность координаты такой частицы больше ее дебройлевской длины волны.16. Используя соотношение неопределенностей энергии и времени, определите естественную ширину ∆λ спектральной линии излучения атома при переходе его из возбужденного состояния в основное.

Среднее время жизни атома в возбужденном состоянии τ= 10 −8 с, а длина волны излучения λ = 600 нм .17. Частица массой m0 движется в потенциальном поле, в котором ее потенциальнаяkx 2( гармонический осциллятор ). Оцените с помощью соотношения2неопределенностей минимально возможную энергию частицы в этом поле.энергия равна U =∆ωспектральной линии, если известны времяωжизни атома в возбужденном состоянии τ = 10 −8 с и длина волны излучаемого фотонаλ = 500 нм.18. Оцените относительную ширину19.

Пусть электрон находится в потенциальной яме с абсолютно непроницаемыми стенками. В этом случае его энергия E точно определена, а, следовательно, точно определено и значение квадрата импульса электрона p 2 = 2me E . С другой стороны, электрон находится в ограниченной области с линейными размерами a . Не противоречит ли это соотношению неопределенностей?20. Оцените с помощью соотношения неопределенностей Гейзенберга неопределенностьскорости электрона в атоме водорода, полагая размер атома a = 10 −10 м. Сравните полученную величину со скоростью электрона на первой боровской орбите.21.

Пользуясь решением задачи о гармоническом осцилляторе, найдите энергетическийспектр частицы массы m0 в потенциальной яме вида ∞, x < 0U (x ) =  kx 2 2 , x > 02Здесь k = m0ω 0 , а ω 0 - собственная частота классического гармонического осциллятора.22.

Волновая функция основного состояния электрона в атоме водорода имеет вид rψ (r ) = A exp −  , где r - расстояние электрона до ядра, a - радиус первой боровской aорбиты. Определите наиболее вероятное расстояние rвер. электрона от ядра.23. Частица находится в двумерной прямоугольной потенциальной яме с бесконечно высокими стенками.

Характеристики

Список файлов книги