Lektsia_6 (Все лекции в электронном виде по ЭДиРРВ)

Лекция №66.1 Излучение электромагнитных волн. Электрический дипольГерцаОпределим поле электрического диполя Герца, представляющего собойлинейный проводник длиной l ( l   ), по которому протекает ток,изменяющийся по гармоническому закону (рисуноу.6.1). При условииl  распределение тока по длине провода можно считать однородным.Участокпроводасоднороднымраспределениемтокаможнорассматривать как электрический диполь с изменяющимися во временизарядами.

Применяя к любому объему проводника уравнение непрерывностист J dS  Sq ст,tи считая, что он окружен непроводящей средой, получимI ст  q ст,tгде I ст — изменение тока по длине рассматриваемого проводника.В символической формеI mст   jqmст .(6.1)x3ereErlHEex2x1Рисунок 6.1 - К расчету поля элементарного излучателя (диполь Герца)Изменение тока наблюдается лишь на концах проводника от значенияI mстдо нуля и, следовательно, везде, кроме концов проводника, зарядотсутствует и лишь на его концах имеются заряды, равные по величине, но1противоположные по знаку, т. е.

имеем дело с диполем, электрическиймомент которогоp э  q ст l, q ст  qmст sin t.В этом случае вектор Герца согласно равенZm qmст e jkrjI ст e jkrl  ml.4 a r4 a rНапряженность магнитного поля согласноH  j a rot Z .В сферической системе координат, в центре которой расположендиполь,Zm   jI mст e jkr lI ст e jkr le3   j m(er cos   e sin  ).4 a r4 a rОтсюда получимH mr  H m  0,H m j a  I mст e  jkr  jl  kI mст e  jkr(jrZ)Z sin  mmr 4 rr2 r  rI mст l e  jkr4r 1  jk  sin .r(6.2)Электрическое поле диполя можно определить из первого уравненияМаксвелла для монохроматического поляEm   j1 arot H m .Отсюдаст jkrI lek12j m 2  j  k  sin  , 4 a r  rr 0.Emr   jEmEmI mст l e  jkr  1 jk  cos  ,2 2 a r  r(6.2а)Переходя от символической записи (6.2) и (6.2а) к векторам поля,получим2H r  H   Ea  0, 1 cos(t  kr)  sin(t  kr) sin ,Ha 4r  krстklI m  1 cos ,Er sin(tkr)cos(tkr)2a r 2  krk 2lI mст  11E  2 2  1 sin(t  kr)  cos(t  kr) sin ,4a r  k rkrklI mст(6.3)Из полученных выражений (6.3) очевидно, что электрический векторлежит в меридиональной плоскости, а магнитный вектор перпендикулярен кэтой плоскости.

Магнитные силовые линии имеют вид концентрическихокружностей, проведенных вокруг диполя.Учитывая, чтоk2,рассмотрим уравнения (6.3) в двух областях:вблизи излучающего провода на расстоянияхи на расстоянияхr  ,т. е. в области, гдеr  ,т. е. в области, гдеkr  1.В б л и ж н е й з о н е ( kr  1 ) можно пренебречь 1 и1k r2 2и фазовым сдвигомkr,kr  1 ,1krпо сравнению сотсюда выражения (6.3) имеют следующий вид:lI mстsincost,4r 2стlI mEr cossint,2a r 3lI mстE sinsint.4a r 3H (6.4)Выражения (6.4) описывают поле, не имеющее волнового характера;здесь электрическое и магнитное поля не совпадают по фазе.

Магнитное поленаходится в фазе с током в проводе, электрическое поле — в фазе с зарядамина концах провода.Составляющие поля (6.4) называются индукционными составляющими.Они быстро убывают с увеличением расстояния от провода.Среднее значение вектора ПойнтингаΠ 0  Re Π 1Re[ Em H m* ]  0,23Так как согласно (6.4) E и H сдвинуты по фазе во времени на2и Πявляется чисто мнимой величиной. Таким образом, движения энергии нет,происходит лишь периодический обмен энергией между электрической имагнитной составляющими поля. Полем излучения в ближней зоне можнопренебречь по сравнению с полем индукции.В д а л ь н е й з о н е ( r   ) можно пренебречь членами порядка1,kr1k r2 2итогда выражения (6.3) имеют следующий вид:klI mстsin  sin(t  kr), 4rEr  0,2 стk lI mE  sin  sin(t  kr).4a rH  (6.5)Выражения (6.5) имеют волновой характер и характеризуют полеизлучения. Это поле представляет сферическую волну, векторы E и Hсовпадаютпонаправлениюфазе,взаимнораспространения.перпендикулярныСиловыеилинииперпендикулярнымагнитногополяпараллельны широтам сферы, а линии электрического поля расположенывдоль меридианов.

Оба поля имеют наибольшую напряженность у экватора(   90 ) и исчезают на полюсах (   0 ). Полное представление о характереполя излучения дает диаграмма направленности, представляющая впроизвольной меридиональной плоскости зависимость амплитуды Em или Hmот угладля фиксированного расстояния r (рисунок 6.2).= 0 Em = Hm = 0r= 90Em = Em максHm = Hm максРисунок 6.2 - Диаграмма излучения диполя Герца4В каждой точке пространства векторы поля изменяются во времени посинусоиде.Средняя плотность потока мощности, переносимая волной,Π 0  Re Π I mст 2 k 3l 2sin 2  er .2232  a rУсредненный вектор Пойнтинга направлен по радиусу и обратнопропорционаленквадратурасстояния.Онхарактеризуетэнергию,распространяющуюся от диполя.Сравнивая выражения (6.4) и (6.5), видим, что электрическиесоставляющие поля индукции и излучения находятся в противофазе, асоставляющие магнитного поля сдвинуты на 90°.

Это объясняется тем, чтополе излучения создается не благодаря току и заряду диполя, а вследствиеизменений поля индукции. Поля индукции и излучения примерно равны нарасстоянииr.26.2 Плоскаяоднороднаямонохроматическаяволнавнеограниченной однородной изотропной линейной среде.

Фазовая игрупповая скоростиРассмотрим распространение плоской однородной электромагнитнойволны в однородной изотропной среде, лишенной источников. Волнаназывается плоской, однородной, если векторы поля E и H в любой точкеплоскости, перпендикулярной направлению распространения, неизменны пофазе и амплитуде. Практически плоской можно считать волну, создаваемуюлюбой антенной в дальней зоне, в пределах площадки, линейные размерыкоторой достаточно малы по сравнению с расстоянием этой площадки отантенны. Если совместить направление распространения волны с одной изосей декартовой системы координат, то векторы E и H будут зависеть отодной координаты и времени.Среда с потерями.

В этом случаераспространения5~~    j .a  a  ja , aaaПостояннаяk    a a    jявляется комплексной величиной.Пусть направление распространения совпадает с осью x3, тогдаH  H( x3 , t )иE  E( x3 , t ).Волновой процесс не зависит от координат x1 и x2, т. е. 0,x1 x2(6.6)и волновые уравнения имеют вид2 Hm 2 Em2 k 2 Em  0.kH0,m22x3x3(6.7)Уравнения (6.7) называются уравнениями Гельмгольца и представляютсобой линейные однородные дифференциальные уравнения с постояннымикоэффициентами, решения которых имеют видEm  A e jkx3  B e jkx3 .Отбрасывая второй член уравнения, как не имеющий физическогосмысла (волны, идущей к источнику и возрастающей, в неограниченнойоднородной среде быть не может) и учитывая зависимость от времени в видеe jt ,получимE  Em e j (t kx3 ) ,(6.8)где Em — амплитуда электрической составляющей поля.Учитывая, чтоk    j ,получимE  Em e x3 e j (t  x3 ) .Переходя к вектору E, получимE  Em e  x3 cos(t  x3 ).Так как уравнения (6.7) для E и H одинаковы, тоH  Hm e  x3 cos(t  x3  )и достаточно рассмотреть поведение одного из векторов E или H.

Здесь  —возможный начальный сдвиг;  — постоянная затухания, характеризует6скорость убывания амплитуды;  — фазовая постоянная, характеризующаяскорость изменения фазы при распространении волны.В каждой плоскостиx3  constполе меняется во времени, в каждыйданный момент поле различно для разных x3.Очевидно, фаза поля имеет одно и то же значение для различныхкоординат x3 и моментов времени t, удовлетворяющих условию(t  t )  ( x3  x3 )  t  x3илиt  x3  0.Это значит, что если в момент времени t в плоскостиx3  constполеимеет некоторое определенное значение фазы, то такое же значение онобудет иметь через промежуток времениплоскостиx3  constна расстоянииx3tв плоскости, отстоящей отпо оси x3.

Таким образом, значениефазы электромагнитного поля распространяется вдоль оси x3 со скоростьюvф x3 t (6.9)называемой фазовой скоростью. С такой скоростью перемещается плоскостьравных фаз, называемая фронтом волны (плоскость равных фаз и плоскостьравных амплитуд могут и не совпадать).Если наблюдатель перемещается вместе с плоскостью выбранныхпостоянных значений фазы, то эта фаза будет для него постоянной, независящей от времени.Неподвижный наблюдатель отметит изменение фазы со временем, таккак мимо него будут проходить плоскости с разными значениями фазы.Очевидно, имеются точки, где значение фазы в данный моментвремени отличается лишь на 2. Ближайшее расстояние  между этимиточками определяется из условия( x3  )  x3  2и называется длиной волны7или22(м)(6.10)(м–1), т. е.

 равно числу волн, укладывающихся на отрезке в 2единиц длины, поэтому оно называется волновым числом.Уравнения Максвелла для монохроматического поля в среде спотерями имеют видrot H  j a E ,rot E   ja H .В декартовой системе координат с учетом (6.35) и зависимости H и E   jk  получимот x3 в виде e jkx  x33kH 2   a E1 , kH1   a E2 , E3  0,kE2   a H1 , kE1   a H 2 , H 3  0.(6.11)Постоянную распространения k можно рассматривать как вектор k ,направление которого в случае плоской однородной волны определяетнаправление ее распространения. При этом выражения (6.40) можнопредставить в виде[kH ]   a E , [kE ]  a H .

(6.12)Из них видно, что векторы E, H и k взаимно перпендикулярны; векторыE и H лежат в плоскости x10x2. Так, если E направлен по оси x1, то H — пооси x2:E  e1Em e  x3 cos(t  x3 ),H  e 2 H m e  x3 cos(t  x3  ).Из векторных уравнений (6.12) следует выражениеkH   a E8или с учетом k    a aEma,Hma(6.13)определяющее сдвиг по фазе во времени между H и E. Выражение~ja~  Z 0 eaZ0 (Ом)называется волновым сопротивлением среды.Из-за сдвига по фазе направления векторов E и H, как видно из рисунка6.3, меняются не одновременно, поэтому вектор Пойнтинга направлен то понаправлению распространения волны, то обратно к источнику.x1t = constЕme - x3ЕЕНx3ННЕЕx2Рисунок 6.3 - Плоская волна в среде с потерямиСредняя плотность потока мощности в среде с потерями, определяетсяΠ 0  Re Π  e3Em H mcos  e2 x32и зависит от сдвига фаз между электрическим и магнитным полем.Затухание энергии электромагнитного поля при прохождении волнойпути l определяется отношением средних плотностей потока мощности наконцах этого участка 0 ( x3 ) e 2 l . 0 ( x3  l )Затухание волны в децибелах (дБ)L  10lge 2l  8,69l.В общем случае, когда направление распространения поля не совпадаетни с одной из осей координат, волновые уравнения имеют вид9H  k 2 H  0,E  k 2 E  0,а их решенияE  Em e j (t kr ) ,H  H m e j (t kr ) ,где k — комплексный волновой вектор k  β  jα.Векторβопределяет направление распространения волны.