Lektsia_5 (Все лекции в электронном виде по ЭДиРРВ)

1Лекция №5ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЕ ПОЛЕМОНОХРОМАТИЧЕСКОГО ИСТОЧНИКАВ НЕОГРАНИЧЕННОЙ СРЕДЕ1. Основные уравненияУравнения Максвелла в символической форме. Если электромагнитное полевозбуждается монохроматическим источникомJ ст  J mст cos(t   J ),то поле у источника также имеет монохроматический характер:E  Em cos(t  E ),(2.1)H  H m cos(t  H ).(2.2)Вобщемслучаеполяризациядиэлектриказависитотнапряженностиэлектрического поляP  P( E )и для изотропной среды может быть представлена в видеP  P л  Pнл ,(2.3)гдеP л   0  эл E,Pнл   0 (  э1E 2   э2 E 3   э3 E 4  ...).Длябольшинствадиэлектриков(необладающихсегнетоэлектрическимисвойствами) э2 10–11 м/В э1и э1E   э2 E 2   э3 E 3  ...В данном случае символический метод непосредственно не применим, новыражение (2.1) можно представить в виде (П.68)2E  E*E,2(2.4)гдеE  Em e jt  Em e j (t E ) ,E*  Em* e jt  Em e j (t E ) .Подставляя (2.4) в выражение (2.3), получаем: E  E *  э1 2P   0   эл( E  2 E  E *  E *2 ) 24 э2 э3816( E 3  3E 2  E *  3  E  E *2  E *3 )  4( E 4  4  E 3  E *  6  E 2  E *2  4  E  E *3  E * )  ...(2.5)Анализируя структуру выражения (2.5), можно заметить, что в результатеперемножения различных степеней E и E * кроме составляющей с частотой  появилисьпостоянная составляющая, составляющие с удвоенной, утроенной и т.

д. частотами.Рассмотрим, например, выражение E 2  2E  E*  E*2 , входящее в формулу (2.5).ПосколькуE 2  Em2 e j 2(t E ) ,E*2  Em2 e j 2(t E ) ,то их суммаE 2  E*2  2Em2 cos(2t  2E ).Найдем их произведение2E  E*  2Em .Такимобразом,выражение( E 2  2E  E*  E*2 )содержитпостояннуюсоставляющую и составляющую с удвоенной частотой (второю гармонику).Аналогично этому, анализируя выражение E 3  3E 2  E*  3E  E*2  E*3 , нетрудноубедиться в том, что оно содержит составляющие с частотой  и 3.Группируячлены,соответствующиепостояннойсоставляющей,первойгармонике, второй гармонике и т.

д., преобразуем выражение (2.5) к следующему виду:P  P л ()   P нл (n),n 0где3P л ( )   0лэ2( E  E* )— составляющая поляризации, линейно зависящая от амплитуды действующегополя и характеризующая лишь линейные эффекты;P нл (n)  Pmнл (n) cos n(t   E )— составляющие поляризации, нелинейно зависящие от действующего поля(определяющие нелинейные эффекты), в том числе;3P нл (0)  0  э1 Em2   э3 Em4  ... 28— постоянная составляющая поляризации;Pmнл ( )   0  (  э1Em2  Em*   э2 Em3  Em*2  ...),Pmнл (2)   0 (  э21 Em2   э22 Em3 Em*  ...),Pmнл (3 )   0 (  э31 Em3   э32 Em4 Em*  ...)...............................— комплексные амплитуды нелинейных составляющих поляризации с частотами, 2, 3, ..., где  nэl — коэффициенты, определяемые через коэффициенты  э1 ,  э2 , ...разложения (2.3).Аналогично можно показать, что если в спектре источника содержится несколькосоставляющих, то в спектре поляризации будут не только гармоники этих составляющих,но и составляющие с комбинационными частотами.Намагниченность магнетика можно представить в виде суммыM  M л  M нл ,гделM л  MH,M нл   M1H 2   M 2 H 3   M3 H 4  ...В случае монохроматического источника поле у источника представим в видеHH  H * H m e jt  H m* e jt;22намагниченностьM   Mл M28H  H *  M1( H 2  2 H  H *  H *2 ) 24( H 3  3H 2  H *  3H  H *2  H *3 )  ...4илиM  M нл (0)  M л ()  M нл ()  M нл (2)  M нл (3)  ...Такимобразом,намагниченностьнелинейногомагнетикатакжесодержитудвоенные, утроенные и т.

д. частоты и постоянную составляющую. При действиинемонохроматического источника появляются комбинационные составляющие.Аналогичным путем можно получить выражение для нелинейной плотности тока:J  J нл (0)  J л ()  J нл ()  J нл (2)  ...Согласно уравнениям Максвелла (1.16) и волновым уравнениям (1.18) и (1.19)нелинейные составляющие поляризации, тока и намагничивания в свою очередьвозбуждают гармоники поля, а если в спектре источника имеется несколькогармонических составляющих, то и комбинационные составляющие.Таким образом, если источник монохроматическийJ ст  J стm cos(t   J ),то в нелинейной среде векторы E, Н, P нл , M нл и J нл можно представить в видесуммы гармонических составляющих1 H   H m (n ) e jnt , 2 n 1  нлнлjntP   Pm (n ) e , 2 n 1M нл   M mнл (n ) e jnt , 2 n 1J нл   J mнл (n ) e jnt .

2 n E1 Em (n ) e jnt ,2 n Подставляявыражения(2.6)(2.6)вуравнениядифференцирование по времени умножением наjnМаксвелла(1.16),заменяяи приравнивая величины,содержащие одинаковые частоты n, получим бесконечную систему уравненийrot H m (n )  jn[ aл (n ) Em (n )  Pmнл (n )]  J mнл (n )  J mст (n ), лнлrot Em (n )   jna (n ) H m (n )  jn0 M (n ),(2.7) л (n) ~ лгде n = 0, 1, 2, 3, ...; ~aл (n)   aл (n)  j; a (n)   aл (n)   j aл  (n) ;nJ mст (n)  0 при n  1.5Полевнелинейнойсредесодержитбольшоечислогармоническихсоставляющих с частотами n, взаимодействующих друг с другом.

Например, присоставляющих с частотами  и 3 появляются частоты 3    4,3    2,3  2  5 и т. д. Таким образом, все гармонические составляющие поля взаимосвязаны.Математически это описывается уравнениями (2.7), в правые части которых входятамплитуды Pmнл (n ), M mнл (n ) и J mнл (n ), причем каждая из этих амплитуд зависит нетолько от своей составляющей поля с частотой n, но и от всех остальных гармоническихсоставляющих. Таким образом, все уравнения (2.7) оказываются взаимосвязанными.В случае линейной среды уравнения (2.7) имеют видrot H m ( )  j aл ( ) Em ( )  J mст ( ), лrot Em ( )   ja ( ) H m ( ),(2.8)где ~aл — комплексная диэлектрическая проницаемость, выполняющая функциюдиэлектрической проницаемости проводящей среды.~aл  a  ja ,здесьa   a , a .Отношениеa,a aравное модулю отношения плотностей тока проводимости и смещения,называется тангенсом угла электрических потерь средыtg  э J прJ см.aМнимая часть комплексной проницаемости ~a может быть обусловлена не толькопроводимостью, но и явлением гистерезиса, т.

е. запаздыванием по фазе вектора Dотносительно вектора E. Оба эти фактора приводят к выделению тепла в веществе, т. е.потерям.Разделение сред на проводники, полупроводники и диэлектрики может бытьпроизведено по значению tg  э . Так, если J пр  J см , т. е. tg  э  1, то током смещенияможно пренебречь и такую среду рассматривать как проводник.Если ток смещения значительно больше тока проводимости, то tg  э  1 , и такуюсреду можно рассматривать как диэлектрик.6Если токи проводимости и смещения примерно равны, то tg  э  1 , и средаявляется полупроводником.Магнитная проницаемость также является комплексной величиной~    j .aaaНаличие мнимой части объясняется гистерезисом, т.

е. отставанием по фазевектора B от вектора H. Отношениеtg  м aaназывается тангенсом угла магнитных потерь.Уравнения Максвелла (2.8) при отсутствии стороннего тока ( J ст  0 ) имеютвидrot H m ( )  j aл ( ) Em ( ),rot Em ( )   jaл ( ) H m ( ).~ л . ЭтоСистема уравнений не изменится, если H m заменить на Em , ~aл на  aсвойство уравнений называется перестановочной двойственностью.Волновые уравнения в символической форме.

Подставляя (2.6) в уравнения(1.18a) и (1.19a) и приравнивая члены, содержащие одинаковые частоты n, получим:Em (n )  (n)2  aл (n)aл (n) Em (n)  (n )2 aл (n ) Pmнл (n)  jn[aл (n) J mнл (n)  aл (n ) J mст  0 rot Mmнл (n )],(2.9)H m (n )  (n)2  aл (n)aл (n) H m (n)  (n )2  aл (n )0 M нл (n )  jn rot Pmнл (n )  rot J mнл (n )  rot J mст (n ),(2.10)где n = 0, 1, 2, 3, ...; J mст (n )  0 при n  1.Если в спектре источника содержится несколько частот, то системы (2.9) и (2.10)будут содержать уравнения, написанные для гармоник этих частот и комбинационныхчастот. Системы (2.9) и (2.10) представляют собой системы бесконечного числа связанныхуравнений.При решении конкретных задач нелинейной электродинамики в зависимости отпостановки и желаемой точности решения ограничиваются определенным номером7гармоник, так как они быстро убывают с возрастанием номера.

Это же относится и ккомбинационным частотам. При этом число уравнений сокращается, а сами нелинейныеуравнения становятся приближенными.Если среда линейна, то уравнения (2.9) и (2.10) имеют видлстEm ( )   2 aл ( )aл ( ) Em ()  ja ( ) J m ( ),стH m ( )   2 aл ( )aл ( ) H m ()   rot J m ( )илиEm ( )  k 2 Em ( )  jaл ( ) J mст ( ), H m ( )  k 2 H m ( )   rot J mст ( ), (2.11)k    aл aл   ( aл ´ j aл ´´)(aл ´ j aл ´´)    jгде—постоянная распространения;  — фазовая постоянная;  — постоянная затухания.Физический смысл этих величин будет рассмотрен в § 2.4. Используя введенный в§ 1.9 векторный и скалярный потенциалы, перепишем выражения (1.24) и (1.25) всимволической формеH1aлrot A,E  grad  j A.Волновые уравнения для электромагнитных потенциалов (1.28) и (1.29) всимволической форме имеют видA  k 2 A   aл J ст ,   k 2    ст  aл .При отсутствии потерьk    aл aл,и выражения (2.12) имеют видA  k 2 A  aл J ст ,  k 2    ст  aл .(2.12)8Решения этих уравнений получим, представив (1.36) и (1.37) в символическойформе (П.84).