Lektsia_11 (Все лекции в электронном виде по ЭДиРРВ)

Лекция 11 Токи на стенках прямоугольного и круглого волноводов11.1 Токи в прямоугольном волноводе при распространении волныH10Каждой структуре поля в волноводе соответствует определеннаясистема токов проводимости на его стенках. Предположим, что стенкиволноводаявляетсяидеальнопроводящими.Вэтомслучаетокипроводимости текут по поверхности стенок. Плотность поверхностного токачисленно равна напряженности тангенциальной составляющей магнитногополя у поверхности проводника.

Вектор плотности поверхностного токанаправленнормально(рисунок 11.1).квекторуАналитическинапряженностизависимостьмагнитногомеждуполяплотностьюповерхностного тока и магнитным полем выражаются формулой jS  [no ; H ] .Пользуясьэтимсоотношениемиприведеннымивышеформулами,описывающими структуру поля в волноводе, можно определить токи настенках волновода.Рисунок 11.1 – Структура поля волны Н10 прямоугольного волноводаСтруктура поля волны H10 в поперечном сечении указывает на то, что уповерхности стенок, параллельных оси Х (широкие стенки), имеются двесоставляющиевекторанапряженностимагнитногополяHx иHz .Соответственно на этих стенках имеются составляющая плотности токапроводимости jSz , параллельная оси Z (продольный ток), и составляющая jSx ,параллельная оси Х (поперечный ток).oСогласно jS  [n ; H ] и H x тока на широкой стенке равна jS = iai aH oz sinH oz sinxaxae iz плотность продольногоe iz .Распределение этого тока показано на рисунке 11.1а. Как видим,продольные токи на нижней и верхней стенках противофазны.

Это вытекаетиз формулы jS  [no ; H ] , если учесть, что вектор n o у верхней и нижней стенокимеетпротивоположноенаправление.Плотностьпоперечногоповерхностного тока на широких стенках волновода согласно jS  [no ; H ] иH z  H oz cosxae iz выражается формулой jSx  H oz cosxae izРаспределение этого тока показано на рисунке 11.1б. Плотностьпоперечного поверхностного тока равна нулю вдоль средней линии широкойстенки волновода.Наузкихстенках,параллельныхосиY,поверхностныйтокопределяется только составляющей H z магнитного поля и соответственноимеет только составляющую jSy .Как следует из выражения H z  H oz cosпостояннуюамплитуду,равнуюxH oz .ae iz , H z у узких стенок имеетСоответственноплотностьповерхностного тока на узких стенках равна jSy  H oz eiz , jSx и jSy образуютединую систему поперечных токов.

Модуль комплексной плотности тока влюбой точке поверзности широких стенок волновода равен | js | | jSx |2  | jSz |2. Распределение суммарной плотности тока на рисунке 11.1в.11.2 Токи в круглом волноводе при распространении волны Н11Уповерхностиволноводаимеютсядвеотличныеотнулясоставляющие вектора напряженности магнитного поля H  и H z , которымсогласноjS  [no ; H ](гдеследуетсоставляющие тока проводимостиположитьjszиno   )соответствуютjs . Распределение суммарнойплотности тока показано на рисунке 11.2.Рисунок 11.2 – Распределение токов волны Н11 круглого волновода11.3 Токи в круглом волноводе при распространении волны Н01У поверхности волновода в этом случае отлична от нуля лишьпродольная составляющая магнитного поля H z , которая остается постояннойпо всему периметру волновода и равна H z  H oz J 0 ( P '01 )eВ соответствии с выражениемjS  [no ; H ] i zна стенках волноводасуществуют только поперечные js поверхностные токи (кольцевые токи).Плотность этих токов также одинакова по всему периметру сеченияволновода и описывается приведенным выше выражением.

Распределениеjsпоказано на рисунке 11.3.Рисунок 11.3 – Распределение токов волны Н01 круглого волновода11.4 Волны в коаксиальной линии11.4.1 Волна Т. Волновое сопротивление коаксиальной линииКоаксиальная линия (рисунок 11.4) является направляющей системойзакрытого типа, состоящей из двух изолированных друг от другаметаллических проводников. В направляющих системах такого типавозможно существование волн T , Emn и H mn .

Поскольку у волны Т f кр =0, то этаволна является низшим типом волны в коаксиальной линии.Рисунок 11.4 – Коаксиальный волноводСовместим ось Z цилиндрической системы координат  z с осьювнутреннего проводника коаксиальной линии. Как было показано ранее,поперечный вектор E  электрического поля волны Т можно выразить черезградиент функции  . Уравнение Лапласа, которому удовлетворяет функция в цилиндрической системе координат, имеет вид: 2 1 1  202  2 2Решая это уравнение методом разделения переменных, получим дварешения. Одно из них имеет вид1  ( Am  B m )cos m(  0 )eizгде m – целое число,,и второе2   D ln eiz .На поверхности внутреннего проводника и на внутренней поверзностивнешнего проводника, которые будем полагать идеально проводящими,касательная составляющая электрического поля должна обращаться в нуль.Следовательно, E (b, )  E (a,    . Нетрудно проверить, что решение 1этому граничному условию при    и B   не удовлетворяет и его следуетотбросить.

Для второго решения E  1 2 0 , т.е. граничное условие выполняется тождественно при произвольном значении константы D ифункцияявляется2E    grad иH искомым решением. Подставляя1 0[ z , E  ] функциюZ0в формулы 2 находим составляющие поляволны Т:E  H 2 D iz e;EZ0D ize .Z 0Постоянную D выразим через модуль напряженности электрическогополя у поверхности внутреннего проводника, обозначив эту величину черезE0  b ,гдеb – радиусвнутреннегопроводника.Структураполя,соответствующая составляющим E и H  была изображена ранее.

Фазоваяскорость и скорость переноса энергии у волны Т в коаксиальной линии, как иу любой волны Т, равны скорости света в среде, заполняющей пространствомежду внутренним и внешним проводниками.Потенциальный характер электрических и магнитных полей позволяетговорить о полном токе и о напряжении в коаксиальной линии. Разностьпотенциалов между центральным и внешним проводником равнаaaU   E d   E0b ln e izbb.Ток¸ текущий по поверхности центрального проводника и повнутренней поверхности внешнего проводника, равен2I Hdl   bH (b, )d L0Отношение напряжения U2 bE0 izeZ0к току I.в режиме бегущей волныназывается волновым сопротивлением коаксиальной линии:ZT U Z0 a aln  60lnI 2 b b [Ом].11.4.2 Электрические и магнитные волныПродольная составляющая E z волн Emn является решением уравненияГельмгольца в цилиндрической системе координат и равна:Ez  [CJ m (k  )  DN m (k  )]cos m(  0 )eizПоскольку точка   0 находится вне области, где сосредоточеноэлектромагнитное поле волны, то в этом решении сохранена функцияN m (k  ) , которая было отброшена при анализе полей в круглом волновод.Т.к.

E z обращается в нуль у поверхности внутреннего и внешнегопроводников, тоCJ m (kb)  DN m (kb)  0;CJ m (ka )  DN m (ka )  0,откуда следует трансцендентное уравнение:J m ( k  b) N m ( k  b)J m (k a ) N m (ka ) ,Из которого находится величина k  . Совершенно аналогично можнопоказать, что в случае магнитных волн величина k  являетсятрансцендентного уравнения:J ' m ( k  b) N ' m ( k  b)J 'm ( k a ) N 'm ( k a ) .решениемКорни этих уравнений, число которых бесконечно, находятся либографически, либо численными методами.Как показывает анализ этих уравнений, первым высшим типом волны вкоаксиальной линии является при любом диаметре внутреннего проводникаволна Н11. Структура этой волны в поперечном сечении линии имеет вид,показанный на рисунке 11.5.Рисунок 11.5 – Структура волны Н11 коаксиального волновода при b  0Критическую частоту волны Н11 в коаксиальной линии можноопределить достаточно точно, не решая второго уравнения.

Действительно,если b=0, то коаксиальная линия превращается в круглый волновод, низшимтипом в котором является волна Н11. Введение вдоль оси круглого волноводатонкого металлического стержня слабо влияет на распределение волны Н11ввиду отсутствия у нее продольных составляющих электрического поля.Поэтому, при b  0 крH  3.41a .11Рассмотрим другой предельный случай, когда b  a . Структура поляволны Н11 в плоскости поперечного сечения такой коаксиальной линии имеетвид, показанный на рисунке 11.6.Рисунок 11.6 – Структура волны Н11 коаксиального волновода при b  aДля сравнения рядом построена структура поля волны Н20 впрямоугольном волноводе, изогнутом в поперечной плоскости по дугебольшого радиуса.

Почти полная тождественность обеих структур позволяетсчитать, что критические частоты волны Н11 в коаксиальной линии (приb  a ) и волны Н20 в прямоугольном волноводе совпадают. Критическаядлина волны у Н20 равна размеру широкой стенки прямоугольноговолновода, длину которой в изогнутом волноводе можно приближенносчитать равной  (a  b) , следовательно, при b  abaкрH   (a  b)  3,14a  (1  )11При b  a =эта формула дает значениекрH  3,14a ,11что отличается менее чем на 10% от значениякрH  3,41a11в выше приведенной формуле.