112851 (Методика преподавания темы "Тригонометрические функции" в курсе алгебры и начал анализа), страница 3

В процессе работы с числовой окружностью у учащихся должны быть сформированы следующие умения:

• находить на числовой окружности точки, соответствующие заданным числам, выраженным в долях числа и выраженным не в долях числа ;

• составлять аналитические записи для дуг числовой окружности;

• определять принадлежность точки какой-либо координатной четверти;

• работать одновременно в двух системах координат – в криволинейной и прямоугольно-декартовой и осуществлять переход от одной системы координат к другой;

• находить координаты точек числовой окружности и отыскивать на числовой окружности точки по заданным координатам;

Для этого целесообразно рассматривать задания следующих типов:

1. Найти на числовой окружности точки /2, 9, 26/3, -5/4, -7/6…..

2. Найти на числовой окружности точки 1, 2, -7, 4.5, -31 ….

3. Определить, каким четвертям принадлежат точки 21/4, -37/6, 10, -95.

4. Отметить на числовой окружности точки t, удовлетворяющие неравенствам: а) /6+2к t 2/3+2к, к

б) -/3+2к t 3/4+2к, к

1. Найти декартовы координаты точек, соответствующих числам /4, -3/2, 23/6, -13/3…..

2. Найти положительные и отрицательные числа, которым соответствуют точки с координатами (1/2;3/2), (-2/2; 2/2); (3/2; -1/2), (-1,0)….

3. Найти на числовой окружности точки с ординатами (абсциссами) равными -3/2, 1/2, -2/2, 0, -1, абсциссы (ординаты) которых отрицательны, и записать, каким числам они соответствуют.

4. Найти на числовой окружности точки с ординатой (абсциссой) > -2/2 и записать, каким числам они соответствуют.

В процессе работы с числовой окружностью следует обратить внимание на следующие моменты.

В арсенале учителя должно находится как минимум два макета с числовыми окружностями. На первом из них отсчет ведется в положительном направлении с указанием расположения точек 0, /6, /4, /3, /2, 2/3…. , на втором - в отрицательном с указанием точек -0, -/6, -/4, -/3, -/2, -2/3…., причем второй макет желательно вывесить после того, как учащиеся ответят или попытаются ответить на вопрос: «Что будет, если точка будет двигаться не положительном, а в отрицательном направлении?».

Эта мотивационная задача позволяет еще раз провести связь между числовой окружностью и числовой прямой. Ведь на числовой прямой можно было откладывать не только положительные, но и отрицательные значения, причем сколь угодно большие. На числовой окружности можно делать то же самое, но следует учитывать тот факт, что на прямой соответствие между точками и числами взаимно-однозначное, а на окружности у каждой точки бесконечно много имен, отличающихся друг от друга на 2к, где к.

Это главное отличие учащиеся должны четко понимать и осознавать. Для этого числовую окружность можно сравнить с колесом, а числовую прямую с бесконечной нитью, на которой отмечены точки. Наматывая нитку на колесо, предварительно совместив соответствующие нулевые точки, можно заметить, что точки, отличающиеся на 2, попадут в одно и тоже место на колесе, благодаря тому, что длина числовой окружности единичного радиуса составляет именно 2.

Больше всего проблем, связанных с неоднозначностью соответствия между точками и числами на окружности возникает при решении задач вида: «Найти на числовой окружности точки с ординатой (абсциссой) большей 3/2 и записать, каким числам они соответствуют».

Такие неравенства, характеризующие дугу, рекомендуется на начальном этапе составлять в два шага. На первом шаге составить так называемое «ядро» аналитической записи /3 < t < 2/3, и только на втором составить общую запись /3+2k < t < 2/3+2k, где к Z.

По этому поводу осмелюсь не согласиться с статьей [10], в который автор пишет, что уточнение «где к Z» можно опускать, записывая его только в парадных случаях – на контрольных или экзаменационных работах. В большинстве случаев это действительно можно делать совершенно безболезненно, но как быть, если при отборе корней уравнения или неравенства, или при наложении определенных ограничений на функцию, параметр к сможет принимать не все а, например, только положительные или только четные значения?

Учащиеся, привыкшие писать +2k, не задумываясь над тем, какие значения может принимать параметр к, и в этом случае напишут +2k, что автоматически сделает их решение неверным.

Это приведет и к недопониманию того факта, что, например, множества «4k, где к Z» и «2k, где к 2Z» совпадают. Это, в свою очередь, может породить затруднения при рассмотрении функций с периодом, равным 4. А ведь таким функциям уделяется немало времени при изучении темы «Тригонометрические функции».

Таким образом, нельзя оставлять недоработанными никакие, даже самые маленькие детали, ведь незначительные с виду недоработки, возникающие при изучении числовой окружности, в процессе изучения самих тригонометрических функций могут стать причиной возникновения больших пробелов в знаниях.

Теперь, когда мы научились работать с числовой окружностью как самостоятельным объектом, можно приступать к введению самих тригонометрических функций.

Не стоит забывать, что определения тригонометрических функций с помощью числовой окружности плохо укладываются в сознании ребят по одной простой причине: на первом этапе определения были даны в геометрической трактовке – как отношения сторон прямоугольного треугольника.

Из психологии известно: «если какое-нибудь важное понятие вводится в первый раз, то ассоциации, сопутствующие ему, врезаются в сознание учащегося чрезвычайно прочно. Последующие впечатления бывают слабее и не могут стереть того обличия, в котором это понятие явилось впервые». [5]

Несмотря на то, что мы уже использовали окружность для введения «новых» определений синуса и косинуса на этапе расширения множества значений, принимаемых углом необходимо еще раз провести взаимосвязь между прямоугольным треугольником и числовой окружностью.

Напомним, что в школьных учебниках этому факту почему-то не уделяется должного внимания (см. главу «Анализ изложения темы «Тригонометрические функции» в различных школьных учебниках»), поэтому учителю стоит обратить внимание на то, чтобы при введении тригонометрических функций на этом этапе были озвучены следующие моменты.

Рассмотрим числовую окружность единичного радиуса, расположенную в прямоугольно декартовых координатах. Рис.1

В положительном направлении от оси ОХ отложим угол такой, что 0 < < 90⁰. Обозначим полученную на окружности точку как Р. Опустим из точки Р перпендикуляр на ось ОХ, получим точку М. Рассмотрим получившийся прямоугольный треугольник ОМР. Sin по определению равен отношению МР/ОР, но радиус окружности ОР равен единице, следовательно, Sin = МР. Аналогичным образом, cos = ОМ. Заметим, что длина ОМ - это абсцисса точки Р в прямоугольно-декартовой системе координат, а длина МР - ее ордината. Таким образом, синус и косинус угла определяются через ординату и абсциссу точки Р, что является более удобным при работе в прямоугольно-декартовой системе координат.

Работая с числовой окружностью, мы уже усвоили тот факт, что так как длина дуги единичной окружности легко выражается через центральный угол, на нее опирающийся, то точку Р, можно построить и другим способом - откладывая дугу заданной длины. А так как длина дуги – всегда действительное число, значит, от тригонометрических функций углового аргумента легко можно перейти к тригонометрическим функциям числового аргумента.

Сейчас вернемся к наложенным на угол ограничениям. Угол принадлежит промежутку от 0⁰ до 90⁰, а значит и длина дуги лежит между нулем и /2. Используя все ту же геометрическую интерпретацию, легко показать, что эти определения можно распространить и на любые углы и числа.

Понятия тангенса и котангенса можно вводить двояко: как отношение синуса к косинусу (косинуса к синусу) и как ординату (абсциссу) точки пересечения касательной к окружности в точке (1;0) ((0;1)) и прямой ОР.

Рис.2

Вообще говоря, определив функции синус и косинус, мы уже не нуждаемся в числовой окружности как средстве для введения понятий тангенса и котангенса. Но раз уж мы взялись работать с этой моделью, то неплохо бы показать, как определить функции тангенс и котангенс, используя только их геометрическое определения (заметим, что выражения «тангенс угла – это отношение синуса к косинусу » и « котангенс угла – это отношение косинуса к синусу » не являются определениями – это уже свойства).

Использование второго подхода поможет нам не только на этапе изучения самих тригонометрических функций, но и на этапе решения тригонометрических уравнений и неравенств. Поэтому целесообразнее использовать именно второй подход, а определение тангенса как отношение синуса к косинусу рассматривать как свойство.

Итак, мы ввели понятия всех тригонометрических функций (которые предусмотрены программой). Но перед тем, как перейти к их исследованию и построению графиков, необходимо проследить, чтобы у учащихся были отработаны следующие навыки:

• Нахождение значений всех тригонометрических функций в «главных» точках.

(Для лучшего запоминания значений тригонометрических функций можно использовать следующую вспомогательную таблицу:

Здесь значения синуса и косинуса представлены в наиболее удобной для восприятия и запоминания форме.)

• Решение простейших тригонометрических уравнений и неравенств.

• Определение знаков тригонометрических функций в заданных точках.

• Упрощение выражений с использованием основного тригонометрического тождества и формул приведения.

• Нахождение по заданному значению одной из тригонометрических функций значений всех остальных тригонометрических функций.

Приобретая вышеперечисленные навыки, учащиеся тем самым получают арсенал средств, достаточный для более основательного исследования и построения графиков тригонометрических функций.

Работа по построению графиков и исследованию функций может проводиться двумя способами:

1. Сначала по точкам строится график, а затем с помощью графической интерпретации исследуются все свойства функции

2. Построение графика происходит после исследования функции, а наглядные представления о свойствах учащиеся получают, анализируя поведение функций на числовой окружности.

Наиболее целесообразно применять второй подход, так как при этом подходе, во-первых, все свойства тригонометрических функций иллюстрируются на обеих моделях (на числовой окружности и на графике), а, во-вторых, это является хорошей подготовительной работой для дальнейшего обучения исследованию функций и построению графиков с помощью производной.