86281 (Дослідження універсальних абелевих алгебр)

Дипломна робота

"Дослідження універсальних абелевих алгебр"

Зміст

Введення

1. Основні визначення, позначення й використовувані результати

2. Властивості централізаторів конгруенції універсальних алгебр

3. Формаційні властивості нильпотентних алгебр

4. Класи абелевих алгебр і їхнї властивості

Висновок

Список літератури

Введення

Теорія формацій алгебраїчних систем, як самостійний напрямок сучасної алгебри, початок розвиватися порівняно недавно, наприкінці 60-х років минулого сторіччя. Відзначимо, що за наступні чотири десятиліття в таких класичних областях дослідження, як групи, кільця, Чи алгебри, мультікільця й т.д. формаційні методи одержали досить широкий розвиток. У теорії ж універсальних алгебр формаційні методи не знаходять такого широкого застосування, що, у першу чергу, зв'язано зі складністю самого об'єкта досліджень. Тому одержання нових результатів, що стосуються формаційних властивостей універсальних алгебр, становить безсумнівний інтерес. Саме цій задачі присвячується справжня дипломна робота. Тут на основі визначення централізатора конгруенції, уведеного Смітом [3], дається визначення абелевої алгебри й доводиться основний результат, що клас всіх універсальних абелевих алгебр із мальцевського різноманіття утворить спадкоємну формацію. Також розглядається й властивості абелевих універсальних алгебр.

Перейдемо до короткого викладу результатів дипломної роботи, що містить у собі введення, чотири параграфи й список цитируемой літератури з восьми найменувань.

1 є допоміжним. Тут приводяться основні визначення, позначення й результати, використовувані надалі.

2, 3 носять реферативний характер. Тут докладно з доказами на підставі результатів робіт [1] і [2] викладається теорія централізаторів конгруенції універсальних алгебр і розглядаються формаційні властивості нильпотентних алгебр роботи[3]. Відразу ж відзначимо, що всі розглянуті універсальні алгебри належать фиксированому мальцевскому різноманіттю.

В 4, що є основним, на підставі результатів 3 уводиться поняття абелевої алгебри. Використовуючи методи дослідження роботи [1] доводиться наступний основний результат: клас всіх універсальних абелевих алгебр із мальцевського різноманіття утворить спадкоємну формацію.

1. Основні визначення, позначення й використовувані результати

Приведемо визначення основних понять, використовуваних у даній роботі із джерел [1] і[2]. Для введення поняття алгебри необхідно спочатку визначити -арні операції.

Визначення 1.1. Якщо – непуста множина й , те -арної операцією на множині назвемо відображення прямого добутку в. Розглядаються й -арні операції, які по визначенню, відзначають деякий елемент із .

Визначення 1.2. Пари , де – непуста множина, а (можливо, порожнє) множина операцій на , називається універсальною алгеброю або, коротше, алгеброю.

Сукупність операцій (або опрерационних символів) будемо називати сигнатурою. Часто, при введенні алгебри, указують тільки множину й не вказують сигнатуру.

Елемент алгебри відмічуваний -арної операцією . будемо позначати через .

Визначення 1.3. Підмножина називається підалгеброй, якщо для всякої -арної операції ,

а якщо й – -арна операція з , те

Визначення 1.4. Якщо , – алгебри сигнатури , то прямий добуток

ставати алгеброю тієї ж сигнатури, якщо для кожної -арної операції покласти

а для -арної операції , де , –

Виникаюча в такий спосіб алгебра називається прямим добутком алгебр .

Приведемо деякі визначення з [8]

Визначення 1.5. Відображення з алгебри в алгебру називається гомоморфізмом, якщо для будь-яких елементів і кожної -арної операції ( ) справедлива рівність

Якщо ж – нульарна операція, то думаємо

Гомоморфізм алгебри на називається ізоморфізмом і позначається . Гомоморфізм алгебри в себе називається ендоморфизмом алгебри . Ізоморфізм алгебри в себе називається її автоморфізмом.

Визначення 1.6. Конгруенцією на алгебрі називається всяка підалгебра прямого квадрата , що володіє наступними властивостями:

1) (рефлексивність): для всіх ;

2) (симетричність): якщо , те ;

3) (транзитивність): якщо й , те .

Відзначимо, що умови 1) – 3) означають, що – еквивалентністъ на множині .

Визначення 1.7. Нехай – гомоморфізм алгебри в. Ядром гомоморфізму називається підмножина

У роботі [3] приводяться наступні теореми про ізоморфизмах

Теорема 1 Ядро гомоморфізму є конгруенцією.

Визначення 1.8. Якщо – конгруенція на алгебрі й , та множина

називається класом конгруенції . Множина всіх класів конгруенції позначають через . При цьому для кожної -арної операції вважають , а для -арної операції , де , – . алгебру, Що Вийшла, називають фактор-алгеброю алгебри по конгруенції .

Теорема Перша теорема про ізоморфизмах 2 Якщо – гомоморфізм алгебри в , те

Теорема Друга теорема про ізоморфизмах 3 Нехай конгруенція на алгебрі , – підалгебра алгебри . Тоді

Визначення 1.9. Якщо , – конгруенції на алгебрі й утримується в , те позначимо

і назвемо фактором алгебри або фактором на .

Теорема Третя теорема про ізоморфизмах 4 Нехай – фактор на алгебрі . Тоді

Визначення 1.10. Якщо й – конгруенції алгебри , то думають

Теорема 5 Добуток дві конгруенції є конгруенцією тоді й тільки тоді, коли вони перестановочні.

Визначення 1.11. Клас алгебраїчних систем називається формацією, якщо виконуються наступні умови:

1) кожний гомоморфний образ кожної -системи належить ;

2) усякий кінцевий піддекартовий добуток -систем належить .

Визначення 1.12. Формальне вираження , де й – слова сигнатури в рахунковому алфавіті , називається тотожністю сигнатури . Скажемо, що в алгебрі виконане тотожність , якщо після заміни букв будь-якими елементами алгебри й здійснення вхідних у слова й операцій ліворуч і праворуч виходить той самий елемент алгебри , тобто для будь-яких в алгебрі має місце рівність

Визначення 1.13. Клас алгебр сигнатури називається різноманіттям, якщо існує множина тотожностей сигнатури таке, що алгебра сигнатури належить класу тоді й тільки тоді, коли в ній виконуються всі тотожності із множини . Різноманіття називається мальцевським, якщо воно складається з алгебр, у яких всі конгруенції перестановочні.

2. Властивості централізаторів конгруенції універсальних алгебр

Нагадаємо, що клас алгебр сигнатури називається різноманіттям, якщо існує множина тотожностей сигнатури таке, що алгебра сигнатури належить класу тоді й тільки тоді, коли в ній виконуються всі тотожності із множини .

Різноманіття називається мальцевським, якщо воно складається з алгебр, у яких всі конгруенції перестановочні.

Усе алгебри вважаються приналежними деякому фіксованому мальцевському різноманіттю. Використовуються стандартні позначення й визначення з[2].

У даній роботі конгруенції довільної алгебри будемо позначати грецькими буквами.

Якщо – конгруенція на алгебрі , то

суміжний клас алгебри по конгруенції . або – діагональ алгебри .

Для довільні конгруенції й на алгебрі будемо позначати множину всіх конгруенції на алгебрі таких, що

тоді й тільки тоді, коли

Тому що , та множина не порожньо.

Наступне визначення дається в роботі[2].

Визначення 2.1. Нехай і – конгруенції на алгебрі . Тоді централізує (записується: ), якщо на існує така конгруенція , що:

1) з

завжди треба

2) для будь-якого елемента

завжди виконується

3) якщо

те

Під терміном «алгебра» надалі будемо розуміти універсальну алгебру. Всі розглянуті алгебри передбачаються вхідними у фіксоване мальцевське різноманіття .

Наступні властивості отримані Смітом[3], сформулюємо у вигляді леми.

Лема 2.1. Нехай . Тоді:

1) існує єдина конгруенція , що задовольняє визначенню 2.1;

2) ;

3) якщо

те

З леми 2.1. і леми Цорна треба, що для довільної конгруенції на алгебрі завжди існує найбільша конгруенція, що централізує . Вона називається централізатором конгруенції в і позначається .

Зокрема, якщо , те централізатор у будемо позначати .

Лема 2.2. Нехай , – конгруенції на алгебрі , , , . Тоді справедливі наступні твердження: