Untitled2 (Лекции по аналитической геометрии 1 семестр), страница 4

§8. Эллипс.

Определение. Эллипсом называется геометрическое место точек плоскости, сумма расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами эллипса, есть величина постоянная.

Для вывода уравнения эллипса выберем фокусы в точках F₁(-c,0) и F₂(c,0) (c > 0) , а сумму расстояний обозначим через 2а (2a >2 c). Пусть М(х,у) – произвольная точка эллипса. Тогда:

y

b М

−a F₁ F₂ a x Обозначив a² − c² = b² , окончательно

−b получим:

рис.5

Числа a и b называются полуосями эллипса (точки пересечения эллипса с осями координат имеют своими координатами числа а и b (рис.5)).

Отношение расстояния между фокусами эллипса к длине большой оси называется эксцентриситетом эллипса: Эксцентриситет характеризует форму

эллипса. При ε = 0 эллипс превращается в окружность, при ε = 1 − вырождается в отрезок.

Написанное выше уравнение называется каноническим уравнением эллипса. (Вообще, в геометрии словами каноническое уравнение, обычно, называют уравнение, содержащее в явном виде все основные геометрические характеристики объекта. См. например, каноническое уравнение прямой (§4))

Это уравнение является частным случаем уравнения 2 – го порядка (§6). Нетрудно видеть,

что любое уравнение представляет собой эллипс при условии

AC > 0. (Более общие условия будут выведены позже)

Пример. − эллипс

с центром в т.(−1,2) и полуосями 2 и 4. F₁(−1, ) и F₂(−1, ).

Замечания. 1) Фокусы эллипса всегда расположены на больших полуосях .

2) Если правая часть = 0, то вырожденный эллипс (точка), если = −1 – мнимый эллипс.

§9. Гипербола.

Определение. Гиперболой называется геометрическое место точек плоскости, разность расстояний от каждой из которых до двух фиксированных точек плоскости, называемых фокусами гиперболы, есть величина постоянная и не равная нулю.

Снова выберем фокусы в точках F₁(-c,0) и F₂(c,0) (c > 0) , а модуль разности расстояний обозначим через 2а (2a < 2 c). Для произвольной точки гиперболы М(х,у) имеем:

После проведения элементарных преобразований, аналогичных предыдущим, получим

каноническое уравнение гиперболы:

y Из уравнения сразу следует, что

b При гипербола имеет асимптоты .

а F₂ x Эксцентриситет гиперболы определяется так же, как и

у эллипса, и равен

рис.6

Замечания. 1) При исследовании уравнения 2 – го порядка могут быть получены уравнения

следующего вида: Центр таких гипербол находится в точке (х₀,у₀), а

−1 в правой части означает, что гипербола повернута вокруг начала координат на 90⁰ .

1. Уравнение описывает две пересекающиеся прямые.

2. «Школьное» уравнение гиперболы представляет собой частный случай, когда ось

гиперболы повернута на 45⁰, а асимптотами являются координатные оси.

Пример. Определить вид и характеристики кривой:

§10. Парабола.

Определение. Параболой называется геометрическое место точек плоскости, расстояние от каждой из которых до фиксированной точки плоскости, называемой фокусом параболы, равно расстоянию до фиксированной прямой, называемой директрисой параболы.

у Пусть фокус имеет координаты (p/2,0): F(p/2,0), а директриса

записывается уравнением х = −р/2. Расстояние между фокусом

•M(x,y) и директрисой равно р − параметру параболы (рис.7).

Точки параболы удовлетворяют уравнению:

−р/2 F х

После простых преобразований получим каноническое уравнение

параболы: у² = 2рх.

Рис.7

§11. Кривые второго порядка – заключение.

В предыдущих параграфах были рассмотрены три вида кривых второго порядка: эллипсы,

гиперболы и параболы, а также их частные и вырожденные случаи. Два первых вида называют

центральными кривыми. Параболы – не центральные. Можно доказать (это будет сделано

позже), что этими тремя видами исчерпываются все кривые второго порядка. Из примера §8 видно, что слагаемые 1 – ой степени в уравнении кривой (§6) влияют только на параллельный перенос кривых. В дальнейшем будет доказано, что слагаемое 2Вху определяет поворот

кривой вокруг начала координат.

§12. Аналитическая геометрия в пространстве.

Поверхности в пространстве задаются либо уравнением с тремя переменными:

либо в параметрической форме:

Линии в пространстве задаются пересечением двух поверхностей, или параметрически:

т.е.

При решении задач в пространстве особенно важно знать геометрический смысл параметров, входящих в уравнения.

§13. Плоскость в пространстве.

Определение. Плоскостью называется геометрическое место концов векторов, имеющих общее начало и ортогональных данному ненулевому вектору, называемому нормальным вектором плоскости.

Для вывода уравнения плоскости Р зафиксируем т. и нормальный вектор

(рис.8).Тогда . Отсюда получаем:

− уравнение плоскости, проходящей через

т. и ортогональной вектору .

Если раскрыть скобки и обозначить , то получим общее уравнение плоскости:

Замечание. И в общем уравнение плоскости коэффициенты А, В и С являются координатами

вектора нормали.

§14. Специальные случаи уравнения плоскости.

1. Уравнение плоскости, проходящей через три точки.

Пусть тт. Необходимым и достаточным условием принадлежности т. М той же плоскости является компланарность векторов В свою очередь, условие компланарности (гл.I,§11,св.2) приводит к следующему уравнению:

1. Уравнение плоскости в отрезках.

Возьмем в качестве предыдущих точек точки пересечения с осями координат:

z

c Уравнение плоскости примет вид:

• М₀

b y

a

х рис.8

§15. Основные задачи, связанные с плоскостью.

1. Условия параллельности, перпендикулярности, угол между плоскостями.

Даны две плоскости:

Все перечисленные условия следуют из геометрического смысла коэффициентов (§13).

1. Расстояние от точки до плоскости.

Вычисляется так же, как в случае прямой на плоскости (§5). Пусть произвольная точка пространства. Расстояние от точки до плоскости равно модулю проекции

После простых преобразований получим

(#) III. Связка и пучок плоскостей.

Определение1. Множество плоскостей, проходящих через единственную общую точку М₀ , называется связкой плоскостей с центром в т. М₀ ( Обозначение − S(M₀)).

Рассмотрим три плоскости, принадлежащие S(M₀):

……………………..(*)

Теорема. Уравнение описывает связку плоскостей с центром в данной точке.

{Нужно доказать 2 утверждения: 1) 2) .

1. Так как все слагаемые Q равны нулю в т. М₀ , то и Q = 0 в этой точке.

2. Так как СЛАУ (*) имеет единственное решение (x₀,y₀,z₀), то из правила Крамера следует,

что определитель системы отличен от нуля, т.е. векторы линейно независимы и

. Значение D = D^* , т.к. все плоскости проходят через т. М₀ }

Определение2. . Множество плоскостей, проходящих через общую прямую – ось плоскостей,

называется пучком плоскостей.

Теорема. Уравнение пучка плоскостей имеет вид:

, при условии

§16. Прямая в пространстве.

Наиболее простым заданием прямой в пространстве является ее задание, как линии пересечения двух плоскостей: .

(Естественно предполагать, что плоскости не совпадают и не параллельны)

Однако, такое задание имеет большой недостаток: оно не содержит в явном виде ни одной геометрической характеристики прямой. Удобнее пользоваться каноническим уравнением прямой, в котором она определяется как геометрическое место концов векторов, имеющих общее начало и коллинеарных данному ненулевому вектору − направляющему вектору прямой.

Если обозначить любую фиксированную точку прямой через М₀ , а направляющий вектор , то для произвольной точки прямой М получим соотношение:

− каноническое уравнение прямой в пространстве. (См. §4,п.III)

Замечание. На самом деле, каноническое уравнение представляет собой систему двух линейных уравнений с тремя переменными, т.е. линию пересечения двух плоскостей. Но, во – первых, это

особые плоскости (параллельные координатным осям) и, во – вторых, в записи системы геометрические характеристики прямой фигурируют в явном виде.

Пример. Перейти к каноническому заданию:

{Положим z = 0. Тогда x =2, y = − 1; . Отсюда: }

От канонического уравнения легко перейти к параметрическому заданию. Приравняем полученную пропорцию к новой переменной и выразим через нее переменные x, y и z:

Пример. Найти точку пересечения прямой с плоскостью x – y +2z – 11 = 0.

{x = 1 + 2t, y = −3t, z = −2 + t → 7t − 14 = 0 → t = 2 → (5, −6, 0) }