Shpargalka (шпора), страница 2

2. Векторное уравнение прямой:

M0(x0,y0,z0),s(m,n,p) – направ., и произвол. M(x,y,z), r0=OM0(x0,y0,z0) (O – начало коорд.), r=OM=(x,y,z) => M0M=r-r0. MoM || s  r-r0=ts => r=r0-ts (tR).

3. Параметрические уравнения: r=r0 +ts, r=(x,y,z), r0=(x0,y0,z0), ts=tm,tn,tp) (урав. 1)=> xi+yj+zk=(x+tm)i+(y0+tn)j+(z0+tp)k => Система: x=x0+mt, y=y0+nt, z=z0+pt.

4. Канонические уравнения прямой: (исключим параметр t из ур. 3)=> x-x0/m +y-y0/n+z-z0/p.

5.Уравнение прямой через 2 точки:

M1, M2, тогда s=M1M2 (направ.)= (x2-x1,y2-y1,z2-z1)=>(урав. 4)=>x-x1/x2-x1 = y-y1/y2-y1=z-z1/z2-z1.

Взаимное расположение (рисунки!):

Условие(У) ||: m1/m2=n1/n2=p1/p2 (т.к. если L1||L2 то s1||s2). У совпадения: s1||s2||M1M2. У пересечения: (s1,s2,M1M2)=0 (т.к. компланарны). У скрещивания: (s1,s2,M1M2) ¹0 (т.к. некомпланарны). У : s1s2  (s1,s2)=0.

Расстояние между скрещ. прям.:

L1 скрещив. с L2. Проведем плоскость P||L2 через прям. L1 и на s1, M1(ÎL1), M2(ÎL2), s2 построим паралл. => p=h=Vпарал./Sосн.= |(M1M2,s1s2)/[s1,s2]|.

Взаимное расположение прям. и пл.:

Плоскость: Ax+By+Cz+D=0, прямая: x-x0/m=y-y0/n=z-z0/p. Тогда: sin= (Am+Bn+Cp)/sqrt(A²+B²+C²)sqrt(m²+n²+p²). Если прям. || пл. тогда Am+ Bn+Cp=0. Если прям ^ пл. тогда A/m=B/n=C/p.

ПЛОСКИЕ ОДК

Опр: Пусть B=(e1,e2) – произв. Базис на плоскости. Произвольн. вектор а можно представить как сумму векторов коллинеарных e1 и e2. а=xе1+ye2. Упорядоченная пара (x,y) называется коорд. вектора а в базисе В. Опр: Базис В*=(е1*,е2*) называется взаимным или дуальным к базису В, если: е_Ie_J*=ij=(1,i=j)или (0, i¹j). (-символ Кронекера.). Тогда упор. пара (x1*,y1*)-координаты а в базисе В*.Опр: Матрица Грамма

базиса В. |G|=S²паралл. на e1 и е2. Обратная матрица Грамма G*=(1/|G|)*(A11 A21)

т.к. G=(G*)^-1| (A12 A22).

Опр:Пусть есть вектор а=xe1+ye2= x*e1*+y*e2* (1). Найдем связь между x,y и x*,y*. Умножим (1) скалярно на е1, затем на е2: xe2e1+ye1e2=x*e1e1*(=1)+y*e1e2*(=0)=>x*=xe1e1+ye1e2, y*=xe2e1+ ye2e2 => (x* y*)=G(x y), (x y)=G*(x* y*). Скаляр. произ в ОДК: a_i=xie1+y1e2=x*e1*+yi*e2* => a1a2=(x1e1+y1e2)(x2*e1*+y2*e2*)= x1x2*e1e1*+x1y2*e1e2*+y1x2*e2e1*+y1y2*e2e2*=x1x2*+y1y2*.=> a1a2= (x1 y1)(x2* y2*)\ (символ \ означает что записть должна быть в столбец). = (x1 y1)G(x2 y2)\. (аналогично) a1a2=(x1* y1*)(x2 y2)\=(x1* y1*)G* (x2* y2*)\.

ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ОДК

О пр: Пусть B=(e1,e2,e3) произвольный базис. а – произвольный вектор, его можно представить как сумму векторов коллинеаных е1,е2,е3. a=xe1+ye2+ze3. Упорядоченная тройка (x,y,z) – координаты а в базисе В. Матрицей Грамма будет матрица G. Опр: базис В* называется дуальным/взаимным к В если е_ie_j=dij (1, i=j,…)(i,j=1,2,3). G*=(1/|G|)*(матрица трансп. ариф. доп.).|G|=V²паралл. постр. на е1,е2,е3. Выразим векторы взаимного через прямой: т.к. е1*e2=0, e1*e3=0, то e1*^e2, e1*^e3, следовательноб по св-ву вектр. произв. e1*=[e2,e3]. 1=e1e1*=e1[e2,e3]= (e1,e2,e3)=>  =1/(e1,e2,e3) (аналогично для е2,е3): e1*=[e2,e3]/(e1, e2,e3), e2*=[e3,e1]/(e1,e2,e3), e3*= [e1,e2]/(e1,e2,e3). (аналогично выражаются е и е*).|G|=(e1,e2,e3)<= ветекает из определения об объеме.

С вязь координат во взаимном б. и прямом: разложим произв. вектор а во взаимном и прямом (1), умножим скалярно на е_к (2). Получаем: X*=GX, X=G*X*. Скаляр. произв: Разложим вектора x и y в басисах В и В* (3). Рассмотрим их скал. произв. (4). Получаем формулу для вычисл. скал. произв. в ОДК (5) или в матричн. форме (6) что равносильно: xy=X^TY*=X^TGY или xy=(X*)^TY=(X*)^TG*Y*.

ВЕКТОР. И СМЕШ. ПР. В ОДК

Векторное: Пусть дано (1), тогда по св-вам ОДК (2). Таким образом (3) и (4). Смешанное: Пусть даны три вектора (см. пред.), тогда смеш. произв. (5). Учитывая (2). => (6). Получаем (7)/(8).

ПРЯМАЯ И ПЛОСК. В ОДК

1. Урав. пл. Р, проход. через М0 и ^ вектору n0.Произвол. МР если М0М || PM0M^n(n,M0M)=0 => урав.: (точка в В): a*(x-x0)+b*(y-y0)+c*(z-z0), + наоборот… 2.Урав. прям. L, прох. через М0 и ||q. Произвол. МÎL если М0М||qкоординат. М0М и q пропорциональны => урав: (точка в В): (x-x0)/l=(y-y0)/m=(z-z0)/n, + наоборот… 3. Урав. пл. Р через М0, и || а и b. (a,b неколл.). Произвол. МÎР если М0М, a, b компланарны  (M0M,a,b)=0 => урав: (точка и вектора в В): (e1,e2,e3)(опр. коорд. вект)=0 (опр. коорд. вект.), т.к. e1,e2,e3 – некомпланарны. + наоборот… 4. Урав. пл. через 3 точки. (задача сводится к пред., т.е. вектора M1M2, M1M3,M1M, где М – произв. должны быть компл.). 5. Урав. прям. через 2 точки. (урав. аналог. прям. сл.)=>x-x1/x2-x1=…=z-z1/z2-z1. 6. Расстояние от М0 до Р. p(M0,P)= |a*x0+b*y0+c*z0+d|/|n| (где |n|= sqrt(n,n), (n,n)=(N*)^TG*N*) + наоб…

ГИПЕРБОЛА.

О пр: ГМТ на плоскости модуль разности расстояний от которых до двух фиксированных точек, называемых фокусами, есть величина постоянная Канон урав: Будем считать, что фокусы гиперболы находятся на ОХ на одинаковом расстоянии от начала координат. |F₁F₂|=2c, М – произвольная точка гиперболы. r₁, r2 – расстояния от М до фокусов; |r₂-r₁|=2a; a<c;

,

x²c²-2a²xc+a²=a²(x²-2xc+c²+y²)

x²(c²-a²)-a²y²=a²(c²-a²)

c²-a²=b²

x²b²-a²y²=a²b²

< - каноническое ур-е гиперболы (a>0, b>0). Свойства: центр симм. – (0,0). Оси симм. – оси коорд. Точки перес. с осями симм. – вершины (А1(-а,0), А2(а,0)). F1=(c,0), F2=(-c,0), c=sqrt(a²+b²). e=c/a (>1). Директрисы: x1=a/e, x2=- a/e. Фокальное св-во: ||F1M|-|F2M||=2a. Директориальное св-во: |MF1|/p(M,L1)= |MF2|/p(M2,L2)=e. Оптическое св-во: луч идущ. из Ф1, оражаясь в М от гип. идет по Ф2М. Асимптоты: y1=bx/a, y2=-bx/a.

ПАРАБОЛА.

Опр.: ГМТ на плоскости расстояние от которых до фиксированной точки на плоскости, называемой фокусом, равно расстоянию до фиксированной прямой этой плоскости называемой директрисой. Канон. урав.: Пусть фокус параболы находится на оси ОХ, а директриса расположение перпендикулярно оси ОХ, причем они находятся на одинаковом расстоянии от начала координат.

|DF|=p, М – произвольная точка параболы; К – точка на директрисе; МF=r; MK=d; r=sqrt((x-p/2)²+y²); d=p/2+x Приравниваем и получаем:

y²=2px - канон. урав. параболы (p>0). Св-ва: не имеет центра симметрии. Ось симм. – ось абсцисс. Вершина (0,0). Число р–параметр параболы. F(p/2,0) – фокус. Директриса: x=-p/2. Директориал. св-во: |FM|/p(M,L)=e=1(e=c/a). Фокал. св-во: |FM|=p(M,L). Оптич. св-во: луч идущ. из фокуса отражаясь идет || оси параболы.

ЭЛЛИПС

Опр: ГМТ, сумма растояний от каждой из которых до двух данных точек этой плоскости называемых фокусами, есть величина постоянная, большая чем растояние между фокусами. Канон. урав: Пусть 2а – сумма расстояний от точки элипса до фокусов, а расстояние между фокусами 2с. М(x,y) – произв. точка. Из опр. элипса => sqrt((x+c)²+y²)+ sqrt((x-c)²+y²)=2a. (a>b). F1=(c,0), F2=(-c,0), c=sqrt(a²-b²). Эксцентриситет: e=c/a (<1). Директрисы: x1=a/e, x2=-a/e. Фокальное св-во: |F1M|+|F2M|=2a. Директ. св-во: |MF1|/p(M,L1)=|MF2|/ p(M,L2). Вершины: (a,0),(-a,0),(0,b),(0,-b). Оптич. св-во: тоже.

КОМПЛЕКСНЫЕ ЧИСЛА

Опр: коммплексное число z=x+iy, где x,y – действит. числа, I-мнимая единица (i²=-1). Если x=0, то z-число мнимое число. Если y=0, то z-действ. число, т.е. RC. x=Re(z), y=Im(z). Услов. рав.: z1=z2, если x1=x2 и y1=y2. Понятия больше и меньше для комп. чисел не введено. Два комп. числа отлич. лишь знаком мнимой части называются сопряженными. |z|=r, arg(z)= . Алгебр. запись: z=x+iy. Если рассм. r и , как поляр. коорд М, то x=rcos, y=rsin.=>z=r(cos+ sin). (тригоном. форма). r=|z|=sqrt(x²+y²).=> cos=x/r, sin=y/r, tg=y/x. Получ. =arg(z). Из формулы tg=y/x=> arg(z)=(arctg y/x, (I,IV) +pi (II) –pi (III)). Действия: z1+z2=(x1+x2)+ i(y1+y2). (коммутативность и ассоциативность). z1-z2=(x1-x2)+i(y1-y2). z1z2=(x1x2-y1y2)+i(x1y2+y1x2). => i²=-1(i²=ii=(0+i)(0+i)=(0-1)+i(0+0) =-1). (сочетательный, распределительный, переместительный). z1/z2= (x1x2+y1y2)/(x2²+y2²)+i((y1x2-x1y2) /(x2²+y2²)). Теорема Муавра: z= r(cos+isin), zⁿ=rⁿ(cos(n)+isin(n)) z^1/n=(корень n-ст.)=sqrt(r)(cos((+ 2c)/n)+isin((+2c)/n)), c=0,1…n-1.

КЛАССИФ. КРИВ. 2-ГО ПОРЯД.

ПРИВЕДЕНИЕ КРИВ. К КАНОН.

Алгебр. кривой 2-го порядка называется кривая, урав. которой в декар­товой прямоугольной системе координат (ДПСК) можно представить в виде: (5.1)

Одна и та же кривая в зависимости от расположения относи­тельно ДПСК будет иметь разные урав. Для каждой кривой, определяемой уравнением (5.1), можно подобрать такую новую ДПСК (повернутую), что ее уравнение примет вид (5.2):

Вид кривой, определяемой уравнением, зависит от коэффициентов А. В, С, D, Е, F. 1. АВО - случай центральной кривой. Выделим полные квадраты:

5.2 примет вид