Список задач с решениями по функциональному анализу.

1) Пусть – линейное нормированное пространство. Доказать, что для любых элементов выполняется неравенство .

Решение:

из аксиом нормы:

, тогда:

2) Можно ли в пространстве принять за норму элемента :

A) ;

B) ;

C)

D)

E)

Решение:

1. Можно, так как:

1. Нельзя, так как не выполняется первая аксиома нормы: - произвольная константа.

С) Нельзя, так как не выполняется первая аксиома нормы. Возьмем но тогда

D) Можно, так как:

1. и . Так как , – константа, но , следовательно, . Обратное утверждение очевидно.

2.

3.

E) Можно, так как:

1. , непрерывности Обратное утверждение очевидно.

2.

3.

3) Будет ли множество всех многочленов в пространстве

A) открытым;

B) замкнутым?

Решение:

A) Множество всех многочленов в пространстве не является открытым, так как по теореме Фейера любую непрерывную на отрезке функцию можно равномерно приблизить средними Чезаро, которые не являются алгебраическими многочленами. Следовательно, окрестность любой точки множества содержит элемент, множеству не принадлежащий.

B) Множество всех многочленов в пространстве не является замкнутым. Рассмотрим пример, функцию можно приблизить частичными суммами ряда Тейлора, которые являются алгебраическими многочленами. Следовательно, множество всех многочленов в пространстве не содержит всех предельных точек, значит оно не является замкнутым.

4) Доказать, что всякое конечномерное линейное многообразие в линейном нормированном пространстве есть подпространство.

Решение:

По определению линейным подпространством, принадлежащим линейному нормированному пространству, называется линейное многообразие, если оно замкнуто относительно сходимости по норме, следовательно, достаточно доказать, что в линейном нормированном пространстве конечномерное линейное многообразие - замкнуто. Докажем от противного. Пусть . Рассмотрим функцию . Рассмотрим , Возьмем произвольный и рассмотрим замкнутый шар . Обозначим . Тогда . Множество – конечномерное, замкнутое, ограниченное. Функция согласно неравенству треугольника . Следовательно, .Однако это противоречит предположению, что . Следовательно замкнуто и является подпространством

5) Пусть – линейное нормированное пространство, – линейное многообразие, . Доказать, что не содержит никакого шара.

Решение:

Докажем от противного. Пусть : шар . Рассмотрим : . Возьмем , где так как принадлежит шару Следовательно, , а значит и . Таким образом, пришли к противоречию.

6) Образуют ли в пространстве подпространство следующие множества функции:

A) монотонные функции

B) четные функции;

C) многочлены;

D) непрерывные кусочно-линейные функции?

Решение:

1. Не образуют, так как если рассмотреть , то - не является монотонной.

2. Множество четных функций образует линейное многообразие, так как . Докажем, что – замкнуто от противного. Пусть , тогда , но , следовательно, – противоречие. Следовательно, множество четных функций образуют подпространство.

3. Не образуют подпространство, так как множество многочленов в пространстве не является замкнутым.

4. Не образуют, так как множество непрерывных кусочно-линейных функций не является замкнутым в Рассмотрим . Введем обозначения: . Рассмотрим последовательность функций: . Покажем, что Рассмотрим , . . Следовательно, . Таким образом, Таким образом, не является замкнутым.

7) Образуют ли в пространстве C [-1, 1] подпространство следующие множества функций:

A) многочлены степени ≤k;

B) непрерывно дифференцируемые функции;

C) непрерывные функции с ограниченной вариацией;

D) функции , удовлетворяющие условию ?

Решение:

A) Да. Множество многочленов степени представляет собой линейное многообразие, поскольку данное множество замкнуто относительно операций сложения и умножения на число, введенных как и в пространстве непрерывных функций, то есть является линейным пространством.

Также оно является конечномерным, поскольку базис состоит из векторов.

Следовательно, множество многочленов степени является конечномерным линейным многообразием в линейном нормированном пространстве , а значит по задаче 4 (доказать, что всякое конечномерное линейное многообразие в линейном нормированном пространстве есть подпространство) является подпространством.

B) Нет. Докажем, что множество непрерывно дифференцируемых функций незамкнуто относительно нормы пространства .

Рассмотрим

где

Покажем, что она непрерывное дифференцируема:

Поскольку пределы равны, то производная в данной точке существует и равен -1 .

Аналогично получаем, что .

Итого получаем непрерывную на отрезке производную:

Покажем, что

То есть получили, что , но не является непрерывно дифференцируемой функцией. Значит, множество непрерывно дифференцируемых функций незамкнуто, следовательно, не является подпространством.

C) Нет.

Докажем, что множество непрерывных функций с ограниченной вариацией незамкнуто относительно нормы пространства .

Рассмотрим

Покажем, что непрерывна. При очевидно.

При надо показать, что :

Покажем, что вариация на отрезке

При суммировании вариаций по полуинтервалам получаем

Рассмотрим теперь последовательность функций c ограниченной вариацией:

Покажем, что по норме:

То есть получили, что , но не является функцией с ограниченной вариацией. Значит, множество непрерывных функций с ограниченной вариацией незамкнуто, следовательно, не является подпространством.

D) Да.

Множество функций , удовлетворяющих условию , представляет собой линейное многообразие, поскольку данное множество замкнуто относительно операций сложения и умножения на число, введенных как и в пространстве непрерывных функций, то есть является линейным пространством.

Докажем замкнутость.

Рассмотрим

8) Пусть X – линейное нормированное пространство, множество – фиксировано. Доказать, что – непрерывное отображение .

Решение:

Опр. Если отображение f непрерывно во всех точках пространства X, то говорят, что f непрерывно на X.

Опр. Каждому элементу ставится в соответствие некоторый элемент из Y. Это отображение называется непрерывным в точке , если для каждого существует такое , что для всех таких, что

выполнено неравенство

(здесь - расстояние в X, а - расстояние в Y).

Фиксируем

Докажем, что для произвольных будет выполнено .

Пусть - минимизирующая последовательность для , то есть

По неравенству треугольника:

Аналогично

Следовательно,

Следовательно, отображение непрерывное по определению.

9) Доказать, что всякое конечномерное линейное нормированное пространство является банаховым.

Решение:

Обозначим E – конечномерное линейное нормированное пространство.

Возьмем фундаментальную последовательность элементов , где – базис пространства E.

Т.к. для любого все его его координаты удовлетворяют неравенству , где H – постоянная, зависящая только от выбора базиса в E (лемма 5.3.2 из Вулих Б.З «Введение в функциональный анализ»), то

Следовательно, благодаря полноте множества вещественных чисел существуют конечные

Лемма 5.3.1 из Вулих Б.З «Введение в функциональный анализ»:

Сходимость по координатам влечет сходимость по норме. Именно, пусть и . Если при каждом а , то .

По этой лемме получаем .. Таким образом, полнота E доказана, т.е. оно банахово.

10) Доказать, что подпространство банахова пространства является банаховым пространством.

Решение:

Рассмотрим фундаментальную последовательность в подпространстве банахова пространства (норма в берется такая же, как и в ). Эта последовательность является фундаментальной и в , т.к. - подпространство. Поскольку – банахово, то . Так как – подпространство, то по определению подпространства оно замкнуто, следовательно,

Получили, что произвольная фундаментальная последовательность в подпространстве сходится к Следовательно, - банахово по определению.

11) Может ли в банаховом пространстве иметь пустое пересечение последовательность непустых замкнутых вложенных множеств?

Решение:

Да, может.

Пример: банахово пространство (пространство вещественных чисел) и последовательность непустых замкнутых вложенных множеств в нем: