Курс Комплексного анализа 1998 г. Лектор А.И. Аптекарев

Курс Комплексного анализа 1998 г. Лектор А. И. Аптекарев

Поле комплексных чисел. Топологии в С (открытость, замкнутость, связность). Отображения в С (пути, кривые, функции комплексного переменного).

Открытые и замкнутые мн-ва, предельная точка, замыкание..

Комплексным числом называется число вида x + iy , где x действительная, а y – мнимая часть числа. Пусть i²=-1, тогда С – поле. Множество комплексных чисел можно интерпретировать как ком­плексную плоскость.

Сферой Римана называется множество комплексных чисел, пополненное “бесконечностью”. Сферу Римана можно интер­претировать как обычную сферу.

Отображение из S² \N на комплексную плоскость взаимно однозначно.

Функции отображения точек сферы Римана () на комплексную плоскость (х, у) и обратно: Прямое отображение: ; ; . Обратное отображение: ; .

Метрика на плоскости определяется ф-лой .

Метрика на сфере Римана определяется ф-лой : .

Комплексной функцией на С называется отображение точки из С в точку на сфере Римана.

Гомеоморфизмом наз. непрерывное взаимно однозначное отображение.

Путем называется комплекснозначная функция, заданная на отрезке, непрерывная в каждой точке его.

Жордановым путем называется путь, обладающий св-вом гомеоморфизма.

Топологические отображения элементарными функциями (zⁿ, 1/z. e^z,Ж(z)). Области однолистности. Комбинация элемен­тарных функций (cos(z), ch(z),…) и их обратные. Понятие неоднозначной функции. Группа добно-линейных отображений и ее св-ва. R и C дифференцируемость. Условия Коши-Римана. Оп­ределение аналитических функций. Конформность голо­морфного отображения.

Дробно-линейным называется отображение (функция) вида (az+b)/(cz+d), ad-bc0.

Обобщенной окружностью называется окружность или прямая.

Теорема. Дробно-линейная функция гомеоморфно отображает комплексную плоскость на сферу Римана.. В частности, оно переводит обобщенную окружность в обобщенную окружность.

Дробно-линейные функции порождают группу.

Симметричными относительно окружности называются такие две точки, лежащие на одном луче, что произведение рас­стояний от которых до центра окружности равно квадрату радиуса .

Теорема. Дробно-линейные функции отображают симметричные точки в симметричные.

Обобщенной окружностью называется окружность или прямая.

Однолистной называется такая функция, что из совпадения двух точек образа следует равенство прообразов.

Многолистной называется функция, не обладающая взаимной однозначностью.

С дифференцируемой (R-дифференцируемой) функцией F называется функция, отличная от С-линейной (R-линейной) на бесконечно малую величину в достаточно малой окрестности точки z, то есть при малых z, F=F(z+z)-F(z)=l(z) + o(z),.

Дифференциалом отображения С-дифференцируемой функции F называется ее линейное приращение l(z) в достаточно малой -окрестности заданной точки z .

Конформной называется такое R-дифференцируемое отображение, сохраняющее углы.

Производной функции F называется предел отношения двух приращений: дифференциала функции к приращению аргу­мента.

Теорема. Функция С-дифференцируема в точке титт, когда она имеет производную в этой точке.

Теорема (Условие Коши-Римана). Комплексно значная функция (z)=u(x,y)+iv(x,y) дифференцируема в точке z титт, когда частные производные функций u и v связаны соотношениями: и .

Аналитической или голоморфной в точке z называется такая функция F, что она С-дифференцируема в некоторой окрест­ности этой точки.

Аналитической или голоморфной в бесконечной точке называется такая функция F, что G(z):=F(1/z) голоморфна в точке z=0.

Теорема. Функция комплексно дифференцируема в точке титт, когда она конформна в этой точки.

Интегрирование функций комплексного переменного (интеграл по пути, по контуру). Первообразная. Формула Ньютона-Лейбница. Лемма Гурса. Инте­гральная теорема и формула Коши (в звездной области) Общая интегральная теорема Коши. Следствия (теорема о среднем, принцип max mod). Обрат­ные интегральные теоремы (теорема Мореры, аналитичность интеграла типа Коши). Граничные св-ва интеграла типа Коши (МКТ 170). Формула Со­хоцкого-Племеля.

Интегралом от функции f вдоль пути , определенного на отрезке [, ] называется величина, действительная и мнимая части которой равны соотв., интегралам от действительной и мнимой части исходной функции F вдоль пути , , то есть .

Первообразной функции f называется такая функция F, что производная ее равна исходной функции.

Теорема Коши. Интеграл от голоморфной в области D функции F, по границе любого треугольника из D равен нулю.

Теорема. Функция f ,голоморфная в области D, имеет первообразную в любой ограниченной окрестно­сти точки а из D, то есть U={|z-a|<r}.

Теорема. Для f, непрерывной на кусочно-гладком пути и имеющей первообразную F, справедлива формула Ньютона-Лейбница, то есть .

Гладкой гомотопией отображения из M в N наз. такое отображение цилиндра, полу­ченного как результат прямого про­изведения гладкого мн-зия N на отрезок [0, 1], в гладкое мн-зие М, такое, что отображение точки (x,0) совпадает с (x).

Гомотопией или процессом гомотопии называются все множество гладких гомотопий.

Гомотопными называются отображения _t(x), такие, что существует такая гомотопия, что оба отображения содержатся в ней.

Теорема Коши. Интегралы вдоль гомотопных путей совпадают.

Интегральная теорема Коши. Функция f, голоморфная на компактной, ограниченной непрерывными кривыми области D, в любой точке z из D представима в виде .

Следствие. Значение голоморфной функции в компактной, ограниченной непрерывными кривыми области D, однозначно определяется ее значениями на границе.

Звездной называется такая область, что существует некоторая точка z₀, такая, что для всех точек z, принадлежащих этой об­ласти, отрезок [z, z₀] принадлежит области.

Общая интегральная теорема Коши. Функция f, непрерывная в замыкании области D, ограниченной конечным числом кусочно-гладких кривых, представима в каждой точке z из D в виде .

Теорема о среднем. Функция , интегрируемая в области D, в каждой конечной точке z из D представима в виде , где r – радиус достаточно малой окружности с центром в z.

Принцип максимального модуля. Функция, голоморфная в обрасти D, такая, что ее модуль достигает локального макси­мума в D, постоянна.

Теорема Морера. Если функция непрерывна в односвязной области D и интеграл от нее вдоль любой кривой зависит только от начальной и конечной точек пути интегрирования, то эта функция голоморфна в D.

Последовательность и ряды аналитических функций. Степенные ряды. Нули аналитической функции (теорема единствен­ности, лемма Шварца). Локаль­ный критерий однолистности (теорема Гурвица). Ряды Лорана. Изолированные особенно­сти аналитических функций.

Сходящимся рядом называется такой ряд, последовательность частичных сумм которого имеет конечный предел.

Равномерно сходящимся рядом называется такой функциональный ряд , что для любого z он сходится и для лю­бого найдется такой номер N, единый для всех z, что для всех n>N .

Нулем аналитической функции называется точка из ее области определения функции, в которой функция принимает нуле­вое значение.

Теорема. Функция f(z) с нулем в точке а, отличная от нуля в ее окрестности, представима в виде произведения функции (z), голоморфной в а и отличной от нуля в ее окрестности, на линейное приращение аргумента этой функции. То есть f(z)=(z-a)(z).

Теорема Единственности. Две функции f₁ и f_2, совпадающие на подмножестве области определения D, имеющем хотя бы одну предельную точку, совпадают всюду на D, то есть f₁ = f₂.

Рядом Лорана функции f называется функциональный ряд, с коэффициентами , где r<<R.

Теорема Лорана. Функцию f , голоморфную кольце V={r<|z-a|<R} можно представить как сумму ряда Лорана

Лемма Шварца. Функция , однозначная и аналитическая в единичном круге, для которой справедливы условия (0)=0 |f(z)|1 (|z|<1), удовлетворяет условиям |f’(0)|1, |f(z)||z| (|z|<1), при этом равенство достигается только для линейных функций вида eⁱz, R.

Теорема Гурвица.

Пусть функции , не равна тождественно нулю внутри некоторой области.

И пусть задана последовательность функций _n, равномерно сходится внутри ее к .

Пусть - замкнутая спрямляемая кривая, принадлежащая этой области со своей внутрен­ностью, не проходящая через нули .

Тогда можно указать такое число v,= v(), что при n>v каждая из _n будет иметь внутри одно и тоже число нулей, равное числу нулей функции внутри этой кривой.

Особой точкой функции f называется точка с заданными св-вами.

• Изолированной особой точкой функции f называется такая точка а, что существует проколотая окрестность (или полу­интервал |z|<)этой точки, где функция голоморфна.

• Устранимой называется такая особая точка, что существует .

• Полюсом называется такая особая точка, что .

• Существенно особой точкой называется такая особая точка, что не имеет вообще предела при za.

Лит-ра:

1. Мкт – Маркушевич. Краткий курс аналитических функций.

3