chapter7 (Л.Н. Фадеева - Задачи по теории вероятностей с решениями (DOC))
Описание файла
Файл "chapter7" внутри архива находится в папке "Л.Н. Фадеева - Задачи по теории вероятностей с решениями (DOC)". Документ из архива "Л.Н. Фадеева - Задачи по теории вероятностей с решениями (DOC)", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 3 семестр, которые можно найти в файловом архиве МГУ им. Ломоносова. Не смотря на прямую связь этого архива с МГУ им. Ломоносова, его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "chapter7"
Текст из документа "chapter7"
Глава 7. Закон больших чисел. Центральная предельная теорема.
§ 1. Неравенство Чебышева
Пусть случайная величина имеет математическое ожидание М и дисперсию D. Тогда для любого 0 справедливо неравенство Чебышева:
Это неравенство часто используют в виде:
Доказательство этих неравенств основывается на неравенстве Маркова: для любой случайной величины вероятность события не превосходит произведения частного 1 на математическое ожидание модуля случайной величины, то есть Р() . Справедливо и неравенство Колмогорова: если 1,2,…,n независимые случайные величины имеют конечные дисперсии Di, то для любого 0 справедливо неравенство
Задача 1. В 400 испытаниях Бернулли вероятность успеха в каждом испытании равна 0,8. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что разница между числом успехов в этих испытаниях и средним числом успехов не превысит 20.
Решение. Число успехов в этих испытаниях распределено по закону Бернулли, поэтому среднее число успехов равно М=np=400×0,8=320, а D=npq=400×0,8×0,2=64. Тогда в силу неравенства Чебышева имеем:
Вычислим эту же вероятность с помощью приближенной (интегральной) формулы Муавра-Лапласа (см. главу 4):
Последнее вычисление показывает, что неравенство Чебышева дает довольно грубые оценки вероятностей.
§ 2. Закон больших чисел
Пусть задана бесконечная последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин , для которых существуют математическое ожидание
и дисперсия
. Тогда для любого >0
Суть закона больших чисел состоит в том, что при возрастании числа слагаемых (т.е. одинаково распределенных случайных величин) среднее арифметическое этих слагаемых мало отличается от математического ожидания . Любое отклонение среднего арифметического случайных величин от числа
при достаточно большом числе слагаемых – маловероятно.
Например. Пусть – последовательность случайных величин, каждая из которых равна числу успехов в одном испытании Бернулли (т.е. 1 в случае успеха и 0 – в случае неудачи). Закон распределения каждой такой случайной величины имеет вид:
i | 0 | 1 |
P | q | P |
Здесь и
. Тогда среднее арифметическое
равно частоте успехов в n испытаниях, и закон больших чисел утверждает, что эта частота успехов стремится к вероятности успеха p, если число слагаемых (т.е. число испытаний) стремится к бесконечности.
§ 3. Центральная предельная теорема (ЦПТ)
Если — независимые одинаково распределенные случайные величины, такие, что
и
, i = 1, 2, ..., то для любого вещественного х
Смысл центральной предельной теоремы заключается в том, что сумма случайных величин при надлежащем «центрировании» и «нормировании» и при увеличении числа слагаемых (
) ведет себя почти как стандартно распределенная случайная величина. (Напомним, что называется стандартно распределенной, если
.)
Например. Пусть – последовательность случайных величин, удовлетворяющая условиям предыдущего примера. В этом случае сумма
есть число успехов в
испытаниях Бернулли. Из ЦПТ следует, что
Тогда вероятность того, что число успехов будет заключено между и
равна
Этот результат называется интегральной теоремой Муавра–Лапласа и используется при npq<9. Если р1 и npq 9 , для биномиального распределения используют пуассоновское приближение , основанное на формуле Пуассона при р0, n, np.
Задача 2. В продукции цеха детали отличного качества составляют 50. Детали укладываются в коробки по 200 шт. в каждой. Какова вероятность того, что число деталей отличного качества в коробке отличаться от 100 не более, чем на 5?
Решение. Пусть n - случайное число деталей отличного качества в коробке, тогда при n=200, получим:
Задача 3. Используя условия предыдущей задачи, указать в каких границах с вероятностью 0,997 находится число деталей отличного качества в коробке.
Решение. По таблицам при условии находим t и следовательно, Sn лежит в пределах
, т.е. число деталей отличного качества в коробке с вероятностью 0,997 находится в пределах 100 21.
Задача 4. Используя условия примера 1, определить, сколько деталей надо положить в коробку, чтобы с вероятностью, не меньшей 0,99, можно было утверждать, что число деталей отличного качества в коробке не меньше 100.
Решение. Необходимо найти n из условия Р (Sn 100) 0,99. Используя нормальное приближение, получаем
и из таблиц получаем неравенство откуда, полагая
, при
имеем х2-2,3х-2000, откуда получаем n240.
Задача 5. Известно, что процент брака для некоторой детали равен 0,5%. Контролер проверяет 1000 деталей. Какова вероятность обнаружить ровно 3 бракованных детали? Какова вероятность обнаружить не меньше 3-х бракованных деталей?
Решение. Имеем 1000 испытаний Бернулли с вероятностью р=0,005 «успеха», здесь npq5. Применяя пуассоновское приближение с = np = 5, получаем
и по таблицам находим: P(m1000 =3) 0,14, Р(m10003) 0,875.
Задача 8. Телефонная станция обслуживает 2000 абонентов, в час пик каждый абонент использует связь в среднем в течение 2 минут, т.е. мы считаем, что абонент с вероятностью использует связь. Какое наименьшее число линий необходимо, чтобы только один из 100 вызовов получал отказ?
Решение. Считая вызовы абонентов независимым, имеем 2000 испытаний Бернулли с вероятностью "успеха" р= . Надо найти число линий N из условия
Р(m2000N) 0,01. Применяя приближение Пуассона с , по таблицам находим N87. При использовании нормального приближения получается, что достаточно 86 линий.
Задачи для самостоятельного решения
Теоретические задачи.
-
Пусть задана последовательность независимых случайных величин
, имеющих следующий закон распределения:
n | 0 | ||
P |
Применим ли к этой последовательности закон больших чисел?
-
Пусть задана последовательность независимых случайных величин
, имеющих следующий закон распределения:
n | ||
P | 1/2 | 1/2 |
Применим ли к этой последовательности закон больших чисел?
-
Доказать закон больших чисел в «обобщенной форме»: пусть
– последовательность случайных величин, у которых существуют математические ожидания
и дисперсии
, причем все дисперсии ограничены одной константой C>0. Тогда для любого >0
-
Пусть случайная величина имеет нормальное распределение с параметрами М=а, D=2. Найти вероятности
и
, пользуясь таблицами функции Лапласа, оцените те же вероятности с помощью неравенства Чебышева.
-
Пусть случайная величина имеет распределение Лапласа, т.е. ее плотность равна
. Найти М и D. Найти вероятности
и
и сравнить их с оценками, получаемыми с помощью неравенства Чебышева.
-
Будет ли выполнен закон больших чисел для последовательности независимых случайных величин 1, 2, ... n , ... если
-
Пусть некоторая величина а измеряется прибором без систематической ошибки, но со средним квадратическим отклонением . Это означает, что результат измерения можно считать случайной величиной с М=а, D=2. Какова вероятность при 100 измерениях получить для среднего арифметического (из этих 100 измерений) отклонение от величины а более, чем на
? Дать оценки этой вероятности с помощью неравенства Чебышева и с помощью ЦПТ.
-
Пусть 1, 2, ... i, ... — независимые, одинаково распределенные случайные величины с функцией распределения F(x). Пусть задана случайная величина
.
Выполняется ли для последовательности 1,2, ... i, ... закон больших чисел?
-
Пусть для последовательностей
и
случайных величин существуют числа а и b такие, что
, для любого 0. Доказать, что
б) если f(x, у) непрерывна в точке (а, b), то для любого 0
-
Последовательности 1, , ... и 1, 2, ... случайных величин таковы, что
и существует функция распределения F(x), для каждой точки непрерывности которой выполняется соотношения
. Доказать, что для каждой точки непрерывности F(x) справедливо равенство
.
Вычислительные задачи.
-
Средний размер вклада в отделении банка равен 6000руб. Оценить вероятность, что случайно взятый вклад не превысит 10000 руб.
-
Среднее количество вызовов, поступающих на АТС завода в течение часа, равно 300. Оценить вероятность того, что в течении следующего часа число вызовов на коммутатор: а) превысит 400; б) будет не более 300.
-
По статистическим данным в среднем 87% новорожденных доживают до 50 лет. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что из 1000 новорожденных доля доживших до 50 лет будет отличаться от вероятности этого события не более, чем на 0,04 (по абсолютной величине).
-
Среднее изменение курса акции компании в течении биржевых торгов составляет 0,3%. Оценить вероятность того, что на ближайших торгах курс изменится более, чем на 3%.
-
Отделение банка обслуживает в среднем 100 клиентов в день. Оценить вероятность того, что сегодня в отделении банка будет обслужено: а) не более 200 клиентов; б) более 150 клиентов.
-
Вероятность сдачи в срок всех экзаменов студентом факультета равна 0,7. С помощью неравенства Чебышева оценить вероятность того, что доля сдавших в срок все экзамены из 2000 студентов заключена в границах от 0,66 до 0,74.
-
В среднем 10% работоспособного населения некоторого региона – безработные. Оценить с помощью неравенства Чебышева вероятность того, что уровень безработицы среди обследованных 10000 работоспособных жителей города будет в пределах от 9% до 11% (включительно).
-
Опыт страховой кампании показывает, что страховой случай приходится примерно на каждый пятый договор. Оценить с помощью неравенства Чебышева необходимое количество договоров, которые следует заключить, чтобы с вероятностью 0,9 можно было утверждать, что доля страховых случаев отклонится от 0,1 не более чем на 0,01 (по абсолютной величине). Уточните ответ с помощью следствия из интегральной теоремы Муавра-Лапласа.
-
Дисперсия каждой из 3500 независимых случайных величин равна 5. Оценить вероятность того, что отклонение средней арифметической этих случайных величин от средней математической их математических ожиданий не превысит 0,25.
-
Ежедневно новая сделка заключается с вероятностью 0,2 (но не более одной в день). За сколько дней с вероятностью 0,9 можно ожидать заключения не менее 50 сделок?
-
. В продукции цеха детали отличного качества составляют 80%. В каких пределах будет находиться с вероятностью 0,99 число деталей отличного качества, если взять 10000 деталей. Сделать оценку с помощью неравенства Чебышева и с помощью теоремы Муавра-Лапласа.
-
Театр, вмещающий 1000 человек, имеет два разных входа. Около каждого из входов имеется свой гардероб. Сколько мест должно быть в каждом из гардеробов для того, чтобы среднем в 99 случаях из 100 все эти зрители могли раздеться в гардеробе того входа, через который они вошли? Предполагается, что зрители приходят парами и каждая пара независимо от других выбирает с вероятностью 0,5 любой из входов. На сколько можно будет сократить число мест в гардеробе, если зрители будут приходить поодиночке и также независимо друг от друга с равной вероятностью выбирать любой из входов?
-
Аппаратура состоит из 100 одинаково надежных и независимо работающих элементов, каждый из которых может отказать в течение суток с вероятностью 0,01. На обнаружение отказавшего элемента и его замену требуется 20 минут, в течение которых аппаратура простаивает. а) Найти вероятность того, что время простоя в сутки будет не более 40 минут. б) Найти среднее время простоя аппаратуры в сутки.
-
В поселке 2500 жителей. Каждый из них примерно 6 раз в месяц ездит на поезде в город, выбирая дни поездок по случайным мотивам независимо от остальных. Какой наименьшей вместимостью должен обладать поезд, чтобы он переполнялся в среднем не чаще одного раза в 100 дней (поезд ходит раз в сутки)?
-
На заводе 1000 станков, каждый из которых в среднем в течение 24 дней в месяц потребляет электроэнергию независимо от других станков с некоторой постоянной интенсивностью единиц в день. Какое количество электроэнергии необходимо заводу ежедневно, чтобы не чаще 2 раза в 100 дней он испытывал недостаток электроэнергии?
-
Предприятие выпускает 30% изделий — стоимостью 1 руб., 30% изделий — стоимостью 2 руб. и 40% изделий — стоимостью 3 руб. Какова вероятность получить за 1000 случайно отобранных изделий не менее 2150 руб.?
-
Известно, что 1/3 всех деталей, сходящих с конвейера, подвергается выборочному контролю на основании некоторого случайного признака. Пусть через контроль прошло 100 деталей. В каких пределах с вероятностью 0,99 лежит общее число деталей, сошедших с конвейера?
-
Известно, что вес некоторой детали является случайной величиной , имеющей равномерное распределение на отрезке от 1 до 2г. В каких пределах с вероятностью 0,99 будет находиться суммарный вес 10000 деталей?
-
Для проверки эффективности новый метод стимулирования роста производительности труда был введен на 100 предприятиях. При этом на 32 предприятиях введение нового метода вызвало снижение производительности труда, а на 68 — повышение производительности труда. Какова вероятность того, что чисто случайные колебания вызовут не меньшее отклонение от числа 50 — половины общего числа предприятий?
7