chapter6 (Л.Н. Фадеева - Задачи по теории вероятностей с решениями (DOC))

Глава 6. Непрерывные случайные величины.

§ 1. Плотность и функция распределения непрерывной случайной величины

Множество значений непрерывной случайной величины несчетно и обычно представляет собой некоторый промежуток конечный или бесконечный.

Случайная величина (),заданная в вероятностном пространстве {,S,P}, называется непрерывной (абсолютно непрерывной) , если существует неотрицательная функция такая, что при любых х функцию распределения F_(x) можно представить в виде интеграла

.

Функция называется функцией плотности распределения вероятностей.

Из определения вытекают свойства функции плотности распределения :

1. Плотность распределения неотрицательна: .

2. Интеграл по всей числовой прямой от плотности распределения вероятностей равен единице:

3. В точках непрерывности плотность распределения равна производной функции распределения: .

4. Плотность распределения определяет закон распределения случайной величины, т.к. определяет вероятность попадания случайной величины на интервал :

.

5.Вероятность того, что непрерывная случайная величина примет конкретное значение равна нулю: . Поэтому справедливы следующие равенства:

.

График функции плотности распределения называется кривой распределения, и площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс, равна единице. Тогда геометрически значение функции распределения F_(x) в точке х₀ есть площадь, ограниченная кривой распределения и осью абсцисс и лежащая левее точки х₀.

Рис.6.1.

Задача 1. Функция плотности непрерывной случайной величины имеет вид:

Определить константу C, построить функцию распределения F_(x) и вычислить вероятность .

Решение. Константа C находится из условия Имеем:

откуда C=3/8.

Чтобы построить функцию распределения F_(x), отметим, что интервал [0,2] делит область значений аргумента x (числовую ось) на три части: Рассмотрим каждый из этих интервалов. В первом случае (когда x<0) вероятность события {<x} вычисляется так:

так как плотность  на полуоси равна нулю. Во втором случае

Наконец, в последнем случае, когда x>2,

так как плотность обращается в нуль на полуоси . Итак, получена функция распределения

Вероятность вычислим по формуле . Таким образом,

§ 2. Числовые характеристики непрерывной случайной величины

Математическое ожидание для непрерывно распределенных случайных величин определяется по формуле При этом интеграл, стоящий справа, должен абсолютно сходиться. Пусть  имеет плотность р(х) и (х) - некоторая функция. Математическое ожидание величины () можно вычислить по формуле

,

если интеграл, стоящий справа, абсолютно сходится.

Дисперсия  может быть вычислена по формуле , а также, как и в дискретном случае, по формуле , где .

Все свойства математического ожидания и дисперсии, приведенные в главе 5 для дискретных случайных величин, справедливы и для непрерывных случайных величин.

Задача 2. Для случайной величины  из задачи 1 вычислить математическое ожидание и дисперсию.

Решение.

Далее,

и значит,

§ 3. Примеры непрерывных случайных величин

Равномерное распределение. Непрерывная случайная величина  имеет равномерное распределение на отрезке [a,b], если плотность распределения р_(x) сохраняет постоянное значение на этом промежутке:

График плотности равномерного распределения см. на рис. .

Рис.6.2. Функция распределения и плотность распределения. равномерного закона

Функция распределения F_(x) равномерно распределенной случайной величины равна

F_(x)=

Математическое ожидание и дисперсия ; .

Показательное (экспоненециальное) распределение. Непрерывная случайная величина , принимающая неотрицательные значения, имеет показательное распределение с параметром >0, если плотность распределения вероятностей случайной величины равна

р_(x)=

Рис. 6.3. Функция распределения и плотность распределения показательного закона.

Функция распределения показательного распределения имеет вид

F_(x)=

а математическое ожидание и дисперсия равны М= , D= .

Нормальное распределение (распределение Гаусса). Непрерывная случайная величина называется распределенной по нормальному закону с параметрами и , если ее плотность распределения равна

.

Через обозначается множество всех случайных величин, распределенных по нормальному закону с параметрами параметрами и .

Функция распределения нормально распределенной случайной величины равна

.

Рис. 6.4. Функция распределения и плотность распределения нормального закона

Параметры нормального распределения суть математическое ожидание и дисперсия

В частном случае, когда и нормальное распределение называется стандартным, и класс таких распределений обозначается .

В этом случае плотность стандартного распределения равна

,

а функция распределения

Такой интеграл не вычислим аналитически (не берется в «квадратурах»), и потому для функции составлены таблицы. Функция связана с введенной в главе 4 функцией Лапласа

,

следующим соотношением . В случае же произвольных значений параметров и функция распределения случайной величины связана с функцией Лапласа с помощью соотношения:

.

Поэтому вероятность попадания нормально распределенной случайной величины на интервал можно вычислять по формуле

.

Неотрицательная случайная величина  называется логарифмически нормально распределенной, если ее логарифм =ln подчинен нормальному закону. Математическое ожидание и дисперсия логарифмически нормально распределенной случайной величины равны М= и D= .

Задача 3. Пусть задана случайная величина . Вычислить вероятность .

Решение. Здесь и . Согласно указанной выше формуле

Распределение Лапласа задается функцией f_(x)= e^-x, -х.

(двусторонняя показательная плотность).

Функция плотности распределения симметрична относительно нуля и М=Х_med=X_mod=0 и асимметрия -_=0. Дисперсия в два раза больше дисперсии случайной величины, распределенной по показательному закону D= = и эксцесс равен _=3.

Рис.6.5. Функция плотности распределения Лапласа.

Случайная величина  распределена по закону Вейбулла, если она имеет функцию плотности распределения, равную

Функция распределения в этом случае определяется следующим выражением :

Распределению Вейбулла подчиняются времена безотказной работы многих технических устройств. В задачах данного профиля важной характеристикой является интенсивность отказа (коэффициент смертности) (t) исследуемых элементов возраста t, определяемый соотношением (t)= . Если =1, то распределение Вейбулла превращается в экспоненциальное распределение, а если =2 - в так называемое распределение Рэлея.

Математическое ожидание распределения Вейбулла: - и дисперсия - , где Г(а) -функция Эйлера. .

В различных задачах прикладной статистики часто встречаются так называемые «усеченные» распределения. Например, налоговые органы интересуются распределением доходов тех лиц, годовой доход которых превосходит некоторый порог с₀, установленный законами о налогообложении. Эти распределения оказываются приближенно совпадающими с распределением Парето. Распределение Парето задается функциями

F_(x)=P(<x)=1–( )^; ,

где 0, а хс_0. Основные числовые характеристики этого распределения существуют не всегда, а лишь при соблюдении определенных требований к значению параметра : математическое ожидание - М= при 1, дисперсия - D= существует при 2;

§ 4. Функции от случайных величин

Пусть задана плотность случайной величины  и монотонная дифференцируемая функция . Тогда плотность распределения случайной величины равна

Здесь – функция, обратная к функции .

Задача 4. Случайная величина равномерно распределена на отрезке [0,2]. Найти плотность случайной величины .

Решение. Из условия задачи следует, что

Далее, функция является монотонной и дифференцируемой функцией на отрезке [0,2] и имеет обратную функцию , производная которой равна Следовательно,

.

Значит,

§ 5. Пара непрерывных случайных величин

Пусть заданы две непрерывные случайные величины  и . Тогда пара (, ) определяет «случайную» точку на плоскости. Пару (, ) называют случайным вектором или двумерной случайной величиной.

Совместной функцией распределения случайных величин  и  и называется функция F(x,y)=P , т.е. вероятность попадания случайного вектора (, ) в бесконечный угол на плоскости с вершиной в точке (x,y) лежащий ниже и левее этой точки (см. рис. ), т.е. функция . Совместной плотностью распределения вероятностей случайных величин  и  называется функция такая, что .