Решение (Решения по экзамену Вероятность и статистика)
Описание файла
Файл "Решение" внутри архива находится в папке "Решения по экзамену Вероятность и статистика". Документ из архива "Решения по экзамену Вероятность и статистика", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "теория вероятностей и математическая статистика" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве РТУ МИРЭА. Не смотря на прямую связь этого архива с РТУ МИРЭА, его также можно найти и в других разделах. Архив можно найти в разделе "к экзамену/зачёту", в предмете "теория вероятности" в общих файлах.
Онлайн просмотр документа "Решение"
Текст из документа "Решение"
Задача 1. Из колоды в 36 карт вынули наугад 4 карты. Найти вероятность того, что среди них будет хотя бы один туз.
Решение. Введем событие: 
= (Среди 4 взятых карт будет хотя бы один туз).
Используем классическое определение вероятности: 
, где m – число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n – число всех равновозможных элементарных исходов.
- число различных способов выбрать 4 карты из 36.
Рассмотрим событие 
= (Среди 4 взятых карт не будет ни одного туза). Вычислим
- число различных способов выбрать 4 карты из колоды без тузов в 36-4=32 карты.
Вероятность 
. Тогда 
Ответ: 0,3895.
Задача 2. Плотность распределения случайной величины имеет вид
Найти коэффициент А, вероятность попадания в интервал 
, математическое ожидание и дисперсию.
Решение. Найдем параметр из условия нормировки: 
. Получаем:
, откуда находим 
, то есть
Математическое ожидание:
.
Дисперсия:
Найдем вероятность:
Задача 3. В цехе работают 6 мужчин и 4 женщины. Наудачу выбирают 7 человек .Найти вероятность того, что среди них 3 женщины.
Решение. Используем классическое определение вероятности: 
, где m – число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n – число всех возможных исходов.
Число 
(число способов выбрать любые 7 человек из 10).
Число 
(выбрали 3 женщины из имеющихся 4 и одновременно выбрали 4 мужчин из имеющихся 6, чтобы дополнить до 7).
Тогда искомая вероятность 
.
Ответ: 0,5.
Задача 4. Случайная величина задана функцией распределения.
Найти плотность f(x). Построить графики F(x) и f(x), найти вероятность того, что примет значение меньше 1 .
Решение.
Плотность вероятности имеет вид:
Построим графики функций.
Найдем вероятность того, что случайная величина 
примет значение, меньше 1:
Задача 5. В группе спортсменов 15 лыжников и 10 велосипедистов. Вероятность выполнить норму для лыжника равна 0,8 для велосипедиста 0,7, найти вероятность того, что наудачу выбранный спортсмен выполнит норму.
Решение. Введем полную группу гипотез
= (Спортсмен - лыжник),
= (Спортсмен – велосипедист).
Найдем вероятности гипотез по классическому определению вероятности:
,
.
Введем событие = (Спортсмен выполнит норму). Известны вероятности 
, 
.
Тогда вероятность события найдем по формуле полной вероятности
Ответ: 0,76.
Задача 6. Случайная величина распределения по нормальному закону с параметрами m=1, σ=1. Найти 
Решение. Используем формулу для нахождения вероятности попадания нормальной случайной величины в интервал:
, где 
- функция Лапласа (значения берутся из таблицы), 
- математическое ожидание, 
- среднее квадратическое отклонение. Получаем:
Ответ: 0,1359.
Задача 7. В первой урне 10 белых и 8 черных шаров, во второй — 6 белых и 5 черных. Из первой урны во вторую переложили один шар. Затем из второй вынимают один шар. Найти вероятность, что это будет белый шар.
Решение. Введем полную группу гипотез:
= (Из первой урны во вторую переложили белый шар),
= (Из первой урны во вторую переложили черный шар).
Найдем вероятности гипотез по классическому определению вероятности (отношение числа белых/черных шаров к общему числу шаров):
, 
.
Тогда во второй урне станет:
при гипотезе - 7 белых и 5 черных шаров,
при гипотезе - 6 белых и 6 черных шаров.
Введем событие = (Из второй урны извлечен белый шар). Можно вычислить условные вероятности: 
, 
.
Тогда вероятность события найдем по формуле полной вероятности
Ответ: 0,546.
Задача 8. Математическое ожидание показательно распределенной случайной величины равно 6. Написать уравнение функции и плотности распределения, построить их график. Найти вероятность попадания в интервал (0,3).
Решение. Математическое ожидание 
, откуда 
.
Плотность вероятности:
График:
Функция распределения:
График:
Найдем вероятность:
Задача 9. Среди 20 деталей, сделанных рабочими, 5 нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание 6 деталей 2 будут не стандартные.
Решение. Используем классическое определение вероятности: , где m – число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n – число всех возможных исходов.
Число 
различных способов выбрать любые 6 деталей из 20.
Число m = 
различных способов выбрать 2 нестандартные детали (из 5) и еще 4 стандартные (из остальных 20-5=15 деталей).
Тогда искомая вероятность
.
Ответ: 0,352.
Задача 10. Стрелок имеет неограниченный запас патронов и ведет стрельбу до первого попадания в мишень. Вероятность попадания при одном выстреле 0,7. Найти вероятность того, что число выстрелов не превышает 5. Найти математическое ожидание и дисперсию случайной величины числа попаданий в мишень.
Решение. Пусть 
- дискретная случайная величина, равная числу выстрелов (числу израсходованных патронов). Она может принимать значения 1, 2, 3, 4, 5 и так далее. Найдем соответствующие вероятности.
, если при первом выстреле было попадание, 
.
, если при первом выстреле был промах, а при втором - попадание, 
.
Аналогично далее, 
, если при первых 
выстрелах были промахи, а при 
-ом - попадание, 
.
Получаем ряд распределения:
|
| 1 | 2 | … |
| … |
|
| 0,7 | 0,21 | … |
| … |
Математическое ожидание 
, дисперсия 
.
Найдем вероятность того, что число выстрелов не превышает 5:
Задача 11. Баскетболист делает 4 броска в кольцо. Найти вероятность того, что будет не менее 2 попаданий.
Решение. Если предположить, что вероятность попадания при одном броске равна 
, то искомая вероятность того, что будет не менее 2 попаданий, может быть найдена по формуле Бернулли:
Задача 12. Случайная величина имеет плотность распределения.
f(x) = 
Найти коэффициент А, математическое ожидание и дисперсию. Построить график плотности распределения.
Решение. Найдем параметр из условия нормировки: . Получаем:
, откуда находим , то есть
Найдем математическое ожидание:
(интеграл от нечетной функции по симметричному интервалу)
Найдем дисперсию:
Построим график плотности распределения:
Задача 13. На кубиках написаны буквы «к» «н» «и» «г» «а». Какова вероятность хаотично выбирая буквы сложить слово «книга»
Решение. Используем классическое определение вероятности: , где m – число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n – число всех возможных исходов.
способов составить различные слова из букв «к» «н» «и» «г» «а».
, так как только один из этих способов дает слово «книга».
Получаем 
.
Ответ: 0,0083.
Задача 14. Три стрелка производят по одному выстрелу. Вероятность попадания первого стрелка 0,8 , второго 0,7, третий 0,1. Составить ряд распределения числа попаданий и найти его математическое ожидание и дисперсию.
Решение. Пусть – дискретная случайная величина, равная числу попаданий в цель, она может принимать значения 0, 1, 2 и 3. Найдем соответствующие вероятности.
Введем независимые события 
= (
-ый выстрел попал в цель), 
.
По условию даны вероятности 
, 
, 
. Вероятности противоположных событий 
, 
, 
.
Х принимает значение 0, если все три стрелка промахнулись, то есть 
. Так как события независимы, получаем вероятность
.
Х принимает значение 1
или если первый стрелок попал в цель, а второй и третий – нет,
или если второй стрелок попал в цель, а первый и третий – нет,
или если третий стрелок попал в цель, а первый и второй – нет.
Таким образом, 
. По теореме сложения и умножения вероятностей
Аналогично для оставшихся двух случаев вычисляем:
и
.
Таким образом, ряд распределения случайной величины имеет вид:
|
| 0 | 1 | 2 | 3 |
|
| 0,054 | 0,348 | 0,542 | 0,056 |
Найдем числовые характеристики случайной величины .
Математическое ожидание:
Дисперсия:
Задача 15. Из колоды в 36 карт наугад извлекают 5 карт. Найти вероятность того, что среди них ровно 1 дама.
Решение. Введем событие: = (Среди 5 взятых карт будет ровно 1 дама).
Используем классическое определение вероятности: , где m – число исходов, благоприятствующих осуществлению события, а n – число всех равновозможных элементарных исходов.
- число различных способов выбрать 5 карт из 36.
Вычислим
- число различных способов выбрать 1 даму (из 4) и еще 4 карты из колоды без дам в 36-4=32 карты.
Вероятность 
.
Ответ: 0,382.
Задача 16. Случайная величина равномерно распределена в интервале (-2;5). Написать уравнения плотности и функции распределения. Построить их графики. Найти математическое ожидание и дисперсию, вероятность попадания в интервал (0;5).
Решение. По условию 
Найдем плотность вероятности:
то есть 
Функция распределения вероятности:
то есть 
Найдем математическое ожидание
.
Найдем дисперсию:
Вероятность попадания в интервал 
: 
.
11
