ТЕОРИЯ Лаб Работ (Архив готовых лабораторных работ с теорией по ним)

ПРоверка гипотез о виде закона распределения случайной величины

Как было отмечено выше, существенным условием при получении интервальных оценок статистических характеристик случайной величины является условие нормальности распределения случайной величины. В связи с этим возникает необходимость проверки гипотезы о виде закона распределения случайной величины.

Наиболее распространенными критериями проверки вида закона распределения случайной величины являются:

• Критерий Пирсона (критерий ² ).

• Критерий Колмогорова.

Следует отметить, что при использовании данных и подобных им критериев проверяется гипотеза о том, что экспериментальные данные не противоречат проверяемой гипотезе. Следовательно одной и той же гипотезе могут удовлетворять (особенно при не очень больших объемах выборки) экспериментальные данные имеющие различные законы распределения (см. приложения 8,9).

1. КРИТЕРИЙ ПИРСОНА

В соответствии с критерием, область в пределах которой лежат значения выборки случайных величин x_i, i=1,2,......,n, разбивается на m интервалов (не обязательно равных). Положим для простоты, что интервалы одинаковы, тогда длина интервала будет равна

.

Обозначим через m_k число попаданий случайной величины x_i в k- тый интервал _K, тогда случайная величина

,

где вероятность попадания случайной величины x в k-тый интервал

.

W_T - аналитическое выражение для плотности вероятности случайного процесса, на соответствие которой проверяют экспериментальные данные. При достаточно большом объеме выборки n30 случайная величина будет распределена по закону хи - квадрат с числом степеней свободы, равным

,

где r - число связей, определяемых, как число параметров теоретической плотности вероятности, вычисляемых по выборке случайной величины.

Рис.1.

Так, например, для задания нормального закона распределения необходимо знать два параметра - математическое ожидание и дисперсию. Если значения математического ожидания и дисперсии неизвестны до эксперимента, то их оценки определяют из выборки случайной величины и, следовательно, r равно 2.

При использовании критерия Пирсона гипотеза о том, что экспериментальные данные имеют теоретический закон распределения, принимается, если , где табличное значение распределения хи - квадрат с  степенями свободы и доверительной вероятностью, равной Р. В противном случае гипотеза отвергается.

Недостатком критерия Пирсона является то, что экспериментальные данные необходимо разбивать на группы, а поскольку строгого критерия, в соответствии с которым это можно было бы сделать нет, то возникает определенный субъективизм при применении этого критерия. В литературе по метрологии предлагаются различные критерии выбора числа интервалов m

где - контр эксцесс, определяемый выражением

.

Научно исследовательский институт метрологии предлагает следующую схему выбора m в зависимости от объема выборки n

n	m
40-100	7-9
100-500	8-12
500-1000	1-16
1000-10000	12-22

2. КРИТЕРИЙ КОЛМОГОРОВА

Достоинством данного критерия является то, что при его использовании можно обойтись без группировки результатов измерений.

В соответствии с данным критерием определяется величина

,

где - построенная по экспериментальным данным функция распределения,

- теоретическая функция распределения, на соответствие которой проверяются экспериментальные данные. При закон распределения величины стремится к закону распределения Колмогорова.

Рис.2.

Обозначим через уровень значимости, тогда можно записать¹

Поскольку ряд

быстро сходится, то можно ограничится первым членом, т.е. записать

, или .

Если , то гипотеза о соответствии экспериментального распределения теоретическому отвергается. Если , то гипотеза о соответствии экспериментального распределения теоретическому принимается.

В случае не очень больших выборок (n<120) для проверки нормальности распределения можно использовать приближенный, но

очень простой критерий, в соответствии с которым гипотеза о том, что выборка случайных величин имеет нормальное распределение принимается в том случае, если выполняется неравенство

.

ИНТЕРВАЛЬНЫЕ ОЦЕНКИ СТАТИСТИЧЕСКИХ ХАРАКТЕРИСТИК СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Полученные выше оценки для среднего и дисперсии называются точечными, так как они задаются в виде одного числа (точки на числовой оси). К сожалению, в силу того, что оценки строятся по выборкам конечного объема, они является случайными величинами и, следовательно, невозможно установить достаточно узкие пределы, за которые оценка не выходила бы с полной гарантией. Таки образом возникает задача определения по опытным данным таких пределов, из которых ошибка оценки не выходила бы с заданной вероятностью. Следовательно, речь идет о том, чтобы по результатам наблюдений найти такой случайный интервал (т.е. интервал со случайными концами), который с заданной вероятностью Р_ДОВ содержал бы неизвестное значение оцениваемого параметра.

Случайный интервал, полностью определяемый результатами опытов и не зависящий от неизвестных характеристик, который с заданной вероятностью Р_ДОВ накрывает неизвестную скалярную статистическую характеристику , называется доверительным интервалом для этой характеристики. Концы доверительного интервала называются доверительными границами.

ГОСТ дает следующее определение доверительных границ случайного отклонения результата наблюдений.

Верхняя и нижняя границы интервала, накрывающего с заданной вероятностью случайное отклонение результата наблюдений.

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ДОВЕРИТЕЛЬНЫХ ИНТЕРВАЛОВ

Для определения доверительных интервалов оценки  необходимо знать ее закон распределения (плотность вероятности). Если закон распределения оценки известен, то для определения границ доверительного интервала при заданной доверительной вероятности Р_ДОВ следует воспользоваться следующим выражением

где Т1,Т2 - границы доверительного интервала.

W_ - плотность вероятности оценки .

Следует отметить, что в случае не симметричного распределения оценки  относительно его истинного значения m₁{}, определение доверительных границ будет неоднозначно, и необходимо принимать дополнительные меры для исключения неоднозначности.

В тех случаях когда закон распределения оценки  неизвестен, можно (если это удастся) ввести в рассмотрение новую случайную величину , связанную с , но обладающую той особенностью, что ее закон распределения известен. Определив доверительные границы для величин , можно, воспользовавшись связью между  и  найти доверительные границы для .

1. ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ ДЛЯ СРЕДНЕГО ПРИ ИЗВЕСТНОЙ ДИСПЕРСИИ

Рассмотрим нормально распределенную последовательность случайных величин x_i, i=1,2,...,n. Среднее значение случайной величины x

будет распределено так же по нормальному закону с параметрами

Следовательно, для определения границ доверительного интервала с учетом симметрии нормального распределения и заданного значения доверительной вероятности получим выражение

. (3)

Значение Т2, при котором будет выполнятся последнее равенство, будет верхней границей доверительного интервала., нижняя граница в силу симметрии распределения будет равна Т1=-Т2. Для того, чтобы найти значение Т2, введем замену переменной

.

С учетом, сделанной замены выражение (3) примет вид

Последний интеграл подробно табулирован, и по заданному значению Р_ДОВ можно определить пользуясь таблицей, значение Z2. Z1 соответственно будет равно -Z2.

Фрагмент таблицы нормального распределения

x	P(x)	x	P(x)	x	P(x)
0.00	0.0000	0.30	0.2358	0.60	0.4615
01	0.0080	31	0.2434	61	0.4581
02	0.0160	32	0.2510	62	0.4647
03	0.0239	33	0.2586	63	0.4713

При определенных значениях Z2, Z1 выражение для доверительного интервала, внутри которого с вероятностью Р_ДОВ могут лежать значения математического ожидания, будет иметь вид

2 ДОВЕРИТЕЛЬНЫЙ ИНТЕРВАЛ ДЛЯ СРЕДНЕГО ПРИ НЕИЗВЕСТНОЙ ДИСПЕРСИИ

Закон распределения среднего значения в этом случае не известен. Однако, как было показано выше, для последовательности нормально распределенных случайных величин статистика