Вопросы к экзамену по матану второго семестра

ЭКЗАМЕНАЦИОННАЯ ПРОГРАММА для гр. 04-121, 04-122

по курсу МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ 2 семестр за 2010 год

Часть 1. Функции нескольких переменных (ФНП)

1. ФНП: определение; область определения; график; линии и поверхности уровня; предел в точке и по направлению; непрерывность.

2. Полное и частные приращения ФНП; частные производные первого порядка, их геометрический и физический смысл; уравнения касательной и нормали к поверхности явно заданной функции.

3. Полный и частные дифференциалы ФНП: определение; связи между ними и с частными производными; применение для приближённых вычислений; инвариантность первого дифференциала.

4. Частные производные и дифференциалы высших порядков ФНП: определения; связи между ними; матричная форма записи первого и второго дифференциалов.

5. Дифференцирование сложных ФНП: случаи одной и двух независимых переменных; связь полной и частной производных; инвариантность полного дифференциала.

6. Дифференцирование неявных функций: случаи одной и двух переменных; уравнения касательной плоскости и прямой-нормали к поверхности.

7. Формула Тейлора: случаи функций одной и нескольких переменных; формы записи остаточного члена; частный случай Маклорена.

8. Экстремум ФНП: определение; необходимые условия; достаточные условия; сравнение с исследованием на экстремум функции одной переменной.

9. Свойства знакоопределённости второго дифференциала ФНП: определения; связь с квадратичной формой и матрицей Гессэ. Критерии знакоопределённости: собственных значений матрицы Гессэ; Сильвестра.

Часть 2. Кратные интегралы

1. Двойной интеграл: определение и смысл, специфические свойства. Сведение к повторным интегралам через метод сечений.

2. Общая замена переменных в двойном интеграле. Якобиан преобразования. Полярная система координат. Геометрические и физические применения двойного интеграла.

3. Тройной интеграл: определение и смысл. Сведение к двойному интегралу через метод сечений. Общая замена переменных. Якобиан преобразования.

4. Переход в тройном интеграле к цилиндрической и сферической системам координат. Вычисление якобиана преобразования. Применения тройного интеграла.

5. Криволинейный интеграл первого рода: определение и смысл. Вычисление в декартовых координатах, при параметрическом задании кривой. Специфические свойства.

6. Криволинейный интеграл второго рода: определение и смысл, специфические свойства. Вычисление в декартовых координатах, при параметрическом задании кривой.

7. Связь криволинейного интеграла второго рода с интегралом первого рода, с двойным интегралом. Формула Грина, условия её применения.

8. Условие независимости криволинейного интеграла второго рода от выбора пути интегрирования. Потенциальная функция, способы её нахождения.

9. Поверхностный интеграл первого рода: определение и смысл. Вычисление в декартовых координатах (сведение к двойному интегралу).

10. Поверхностный интеграл второго рода: определение и смысл. Вычисление с помощью двойного интеграла, поверхностного первого рода, тройного.

11. Связь криволинейного и поверхностного интегралов второго рода (формула Стокса), условия её применения.

12. Скалярные и векторные поля: определения, геометрические изображения. Производная по направлению и градиент скалярного поля, свойства градиента.

13. Поток векторного поля через замкнутую поверхность. Формула Гаусса. Дивергенция векторного поля, её смысл. Соленоидальное векторное поле, его смысл.

14. Циркуляция векторного поля. Формула Стокса. Оператор Гамильтона, его связь с градиентом и дивергенцией. Ротор векторного поля, его смысл. Потенциальное поле.

15. Векторные дифференциальные операции второго порядка. Их связь с оператором Гамильтона, случаи тождественного равенства нулю.

Часть 3. Ряды

1. Числовой ряд: определение, сходящийся, расходящийся. Свойства сходящихся рядов. Необходимый признак сходимости. Сходимость и расходимость известных рядов.

2. Достаточные признаки сходимости числовых рядов с положительными членами: признаки сравнения и Даламбера. Их применение к знакопеременным числовым рядам.

3. Достаточные признаки сходимости рядов с положительными членами: радикальный и интегральный признаки Коши. Их применение к знакопеременным рядам.

4. Знакопеременные числовые ряды. Абсолютная и условная сходимости. Признак сходимости Лейбница. Оценка остатка знакочередующегося ряда.

5. Функциональный ряд. Примеры: ряд Тейлора, ряд Фурье. Точка и область сходимости, интегрирование и дифференцирование функциональных рядов.

6. Степенной ряд. Интервал и радиус сходимости. Нахождение радиуса сходимости. Исследование сходимости на концах интервала. Области применения степенных рядов.

7. Тригонометрический ряд Фурье: определение, амплитуда и фаза каждой гармоники. Ортогональность членов ряда Фурье. Вычисление его коэффициентов по сумме ряда.

8. Разложение в ряд Фурье 2π-периодических функций. Условия Дирихле его сходимости. Разложение в ряд Фурье чётных и нечётных функций.

9. Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода, а также непериодических функций, заданных на отрезке. Комплексная форма ряда Фурье. Линейчатый спектр.

10. Обобщение ряда Фурье на непериодические функции, заданные на всей числовой оси. Интеграл Фурье. Условия представления интегралом Фурье. Непрерывный спектр.

Составил доц. Руденко Е.А.