46-47 (Методичка)
Описание файла
Файл "46-47" внутри архива находится в следующих папках: metoda, Text. Документ из архива "Методичка", который расположен в категории "". Всё это находится в предмете "математический анализ" из 4 семестр, которые можно найти в файловом архиве МАИ. Не смотря на прямую связь этого архива с МАИ, его также можно найти и в других разделах. .
Онлайн просмотр документа "46-47"
Текст из документа "46-47"
тельной, то нулевое решение системы уравнений (2.3.4) может быть как устойчивым (асимптотически устойчивым), так и неустойчивым, т.е. в этом случае из устойчивости решений системы первого приближения нельзя делать вывод об устойчивости тривиального решения полной системы уравнений.
О тметим, что если вектор-функция f(t,х) такова, что f(t,0) = 0
и , то она удовлетворяет условию (2.3.5).
Исследование устойчивости методом функций Ляпунова. Пусть v(x) = v(x1 ,..., х n ) — скалярная функция переменной х = (x1 , x2 , ..., хn), определенная и непрерывно-дифференцируемая в шаре
и такая, что v ( 0) = 0 .
Функция v(x) называется положительно определенной в шаре Jh , если при всех х Jh , исключая точку х = 0, имеет место неравенство v (х) > 0 . Если же выполняется неравенство v (х) < 0, то функция v(х) называется отрицательно определенной. В обоих этих случаях функцию v(х) назовем знакоопределенной.
Если функция v (х) принимает в шаре Jh как положительные, так и отрицательные значения, то ее называют знакопеременнной в Jh.
Рассмотрим системы дифференциальных уравнений
(2.3.6)
в предположении, что функция f(х) определена, непрерывна в шаре Jh при h>0, удовлетворяет условию Липшица в Jh и f(0) = 0. Последнее означает, что х = 0 является решением системы (2.3.6).
Пусть x=x(t) — некоторое решение системы уравнений (2.3.6). Вдоль этого решения функция v = v(x(t)) как функция переменной t непрерывно дифференцируема и ее производная
Теорема 2.3.5 (Теорема Ляпунова об устойчивости). Если для системы уравнений (2.3.6) существует знакоопределенная в области Jh
функция v (х) , производная которой по времени , составленная в
силу уравнений (2.3.6), является знакопостоянной функцией и имеет знак, противоположный знаку функции v(x) , или тождественно обращается в нуль, то нулевое решение х = 0 системы уравнений (2.3.6) устойчиво в смысле Ляпунова.
Т еорема 2.3.6 (Теорема Ляпунова об асимптотической устойчивости). Если для системы уравнений (2.3.6) существует знакоопределен-
ная в области Jh функция v (х) , производная по времени которой,
составленная в силу уравнений (2.3.6), является также знакоопределенной функцией и имеет знак, противоположный знаку функции v(х), то нулевое решение системы уравнений (2.3.6) асимптотически устойчиво.
Т еорема 2.3.7 (Теорема Ляпунова о неустойчивости). Если для системы уравнений (2.3.6) существует функция v(x) такая, что производная ее по времени, составленная в силу системы (2.3.6), является знакоопределенной, а сама функция v(x) в любой окрестности точки х = 0 не является знакопостоянной и имеет знак, противоположный знаку , то нулевое решение системы уравнений (2.3.6) неустойчиво.
Предположим, что функция f(х) в системе (2.3.6) определена во
всем пространстве Rn. Нулевое решение системы уравнений (2.3.6) называется устойчивым в целом, если оно устойчиво в смысле Ляпунова и если для любого другого решения x(t) этой системы
Функция v (х), определенная для всех х Rn , называется бесконечно большой, если для любого положительного числа а существует такое положительное число r, что v(x)>a для всех*, лежащих вне
сферы <х , х> = r2.
Теорема 2.3.8. (Теорема Барбашина — Красовского). Если существует положительно определенная бесконечно большая функция v(x) такая, что производная ее по времени, составленная в силу системы (2.3.6), является отрицательно постоянной, причем равенство
возможно на множестве, не содержащем целых траекторий,
кроме точки х = 0 , то нулевое решение системы уравнений (2.3.6) устойчиво в целом.
46
47