1629366496-7e86500e04ea58660ba5d32abcb25793 (Vladimirov_V_S_zadachi)

УДК 517 ББК 22.16 С23 Авторы: В. С. ВЛАДИМИРОВ, А. А. ВАШАРИН, Х. Х. КАРИМОВА, В. П. МИХАЙЛОВ, Ю. В. СИДОРОВ, М. И. ШАБУНИН Сборник задач по уравнениям математической физики. / Под ред. В. С. Владимирова. — 3-е изд., исправл. — М.: ФИЗМАТПИТ„2001.— 288 с. — 18ВН 5-9221-0072-6. Сборник задач, составленный коллективом преподавателей Московского физико-технического института, базируется на обновленных курсах уравнений математической физики, читаемых в МФТИ в течение многих лет.

В отличие от имеющихся задачниксе по уравнениям математической физики, в данном сборнике широко представлены задачи, в которых используется теория обобщенных функций и методы функционального анализа. В настоящее издание внесены уточнения и исправления. Второе издание . — 1982 г. Для студентов физико-математических и инженерно-физичесяих специальностей вузов. Ил. 4. Виблиогр.

8 назв. 1ВВХ 5-9221-0072-6 Ос ФИЗМАТПИТ, 2001 СОЛЕРЖАНИЕ Предисловие к третьему изданиго Из предисловия к первому иэделию .. Основные определения и обозначения. Г л а в а 1. Постановки краевых задач матемнтичесюзй физики . 3 1. Вывод уравнений и постановки краевых задач ............ 3 2.

Классификация уравнений второго порядка................ Г л а в а П. Функциональные пространства н интегральные уравнения.. 53. Измеримые функции, интеграл Лебега..................... 3 4. Функциональные пространства............................. 'з 5.

Интегральные уравнения. Г л а в а 1П. Обобгпенные функции 3 6. Основные и обобщенные функции.......................... 5 7. Лифференцирование обобгценных функций................. 58. Прямое произведение и свертка обобщенных функций..... 59. Преобразование Фурье обобщенных функпий медленного роста . 3 10. Преобразование Лапласа обобщенных функций ............ 511.

Фундаментальные решения линейных дифференциальных операторов . Глав а 1Ъ'. Задача Коши 512. Задача Коши для уравнения второго порядка гиперболического типа . 5 13. Задача Коши для уравнения теплопроводности............ 5 14. Задача Коши для других уравнений и задача Гурса ......

Глава Ъ'. Краевые задачи для уравнений эллиптического тигса . '3 15. Задача Штурма — Лиувипля. 3 16. Метод разделения переменных для уравнений Лапласа и Пуассона. 3 17. Функция Грина оператора Лапласа......................... 3 18. Метод потенциалов. 3 19. Вариационные методы Г л а в а Ч1. Смешанная задача. 5 20.

Метод разделения переменных............................. 3 21. Лругие методы . Л о п о л н е н и е. Примеры решений некоторых типовых задач. Список литературы. 9 9 33 39 39 46 66 89 89 95 104 114 122 126 134 134 159 170 183 184 193 207 213 232 241 241 271 279 287 пркдисловик к т1 ктькму издлнию Третье издание сборника задач по уравнениям математической физики не отличается от второго (1982 г.) по содержанию. Авторы лишь исправили отдельные неточности в формулировках задач и устранили опечатки. Во втором издании было добавлено неболыпое число задач (в основном в главу Н1) к первому изданию сборника (1974 г.).

Авторы выражают глубокую благодарность коллективу кафедры высшей математики Московского физико-технического института за конструктивную критику, за предложения и замечания, которые способствовалн улучшению сборника н позволили устранить неточности и ошибки в ответах. В первую очередь, авторы признательны Т.Ф. Волкову, Ю.Н. Лрожжинову, А.Л. Кутасову, В.В. Лидскому, А. Ф. Никифорову, В.И. Чехлову. Авторы Январь 2001 г. ИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ К ПЕРВОМУ ИЗДАНИЮ Широкое проникновение современных математических методов в теоретическую и математическую физику потребовало пересмотра традиционного курса «Уравнения математической физики».

Это в первую очередь относится к такому фундаментальному понятию, как решение краевой задачи математической физики. Концепция обобщенного решения значительно расширяет круг рассматриваемых задач, позволяет изучать с единой точки зрения наиболее интересные задачи, не поддающиеся решению классическими методами. С этой целью на кафедре лыс~лей математики Московского физико-технического института были созданы новые курсы: «Уравнения математической физики» В.С. Владимирова и «Уравнения в частных произнодныхз В.

П. Михайлова. Настоящий «Сборник задач по уравнениям математической физики» основан на этих курсах и существенно дополняет их. Помимо классических краевых задач в сборник включено большое число краевых задач, имеющих только обобщенные решения. Исследование таких задач требует привлечения методов и результатов из различных областей современного анализа.

Поэтому в сборник включены задачи по теории интегрирования по Лебегу, по функциональным пространствам, в особенности пространствам обобщенно дифференцируемых функций, по обобщенным функциям, включая преобразования Фурье и Лапласа, и по интегральным уравнениям. Этот сборник рассчитан на студентов вузов -- математиков, физиков и инженерон с повьппенной математической подготовкой. 1974 г.

Аашоры ОСНОВНЫКОВОЗНЛЧКНИЯИ ОПРКДКЛКНИЯ 1. х = (хыхз,...,х„), р = (И,рз,...,р„) — точки п-мерного вещественного евклидова пространства Л". 2. ~Ь = дх,дхз...с1х„, ~ 1(х) дх = ~ Дхы хг -,х ) с1хм ..с1х„. Я 3. а = (ам оз,..., а„) — мультииндекс (ау > 0 целые); а'=а~о' а' х =х'х' х" 4. (х, р) = х1р1 + хзрз + ... + хпдл,' ° =и= %4 =-~Я+*~+- ~*.'. 5.

У(хе,.Л) = (х:)х — хе! < Л) - открытый шар с центром в точ- ке хе радиуса Л; Я(хе, .Л) = (х: )х — хо! = Л1 — сфера Вн = У(О; Л) Ял = Я(0, Л). 6. Множество А будем называть слцюго лехсаелси в области С С Л" и писать А С С, если А ограничено и А С С. 7. Функция Дх) называется локально ннтеерируемей в области С, если она абсолютно интегрируема по каждой подобласти С' с С. Функции, локально интегрируемые в Л", будем называть локально интлегрирремыми функциями.

Вау( ) д 1(хохм...,х ) ! ! дх1'дх ' .дх„"" 9. Сг(С) клаас функций (, непрерывных вместе с производными Р'"у", (а( < р (О < р < оа), в области С с Л". Функции )' Е С"(С), у которых все производные В 1, Ц < р, допускают непрерывное продолжение на замыкание С, образуют класс С" (С); С(С) = С" (С), С(С) = Се(С); функции ~ Е Ся(С) при всех р образуют класс С~(С).

10. Равномерная сходимость последовательности функций (Д) к функции ( на множестве А обозначается хея ,(ь(х)::1 ~(х), й — з со. 11. А 0 В -- объединение множеств А и В; А й  — пересече- ние А и В; А и  — прямое произведение А и В (множество пар (и, Ь) (а Е А, Ь Е В)); А~ — дополнение В до А. Основные обовначенив и определение 12. Носителем непрерывной функции >" (х) называется замыкание множества тех точек х, в которых у"(х) ф О. Носитель функции 1 обозначается вирру.

Если измеримая на области С функция Дх) об- ращается в нуль почти всюду в С/С', где 6" Со С, то 1 называется финитной в С функцией; функция, финитная в Л", называется фи- нитной. дз дв дг д 13. ез = — + †, +...+ — — оператор Лапласа; П„= — — азе1— дх', дхе~ " дхв, дР д волновой оператор; П1 = П; — — а Ь вЂ” — оператор теплопроводности. 14. Г+ = (х, Ф: аФ > >х>) — конус будущего. 4 15. Ф(~) = — / е "~~еЬ. еС,е 'Д' ~*>>, >х~<с, 10.

ео,(х) = ~ где С, = е "", О, ~4>е 1 = / е 'Н' в >ах; ш, — ядро усреднения, «щапочкаэ. о 17. С вЂ” плоскость комплексного переменного. (1, х>0, 13. д(х) — функция Хевисайда: д(х) = ~ (О, х<0, 2в.чт 19. он = / еЬ = — площадь поверхности единичной сфеЬт ры Яз в Я". 20. В С"(6) введена норма ~л..,;,= Е ° . ~ л*)~- ~й ход 21.

Совокупность (измеримых) функций Дх), для которых >ЯР интегрируема на С, обозначается через Ьр(С). Норма в Хр(С) вво- дится так: >г/Р ии,,в = ~> й'ь~, ~ в р >~Де <о> = ига> вор>у(х)/, р= со. В Ьз(С) вводится скалярное произведение (Л р) = ( .>'У йх, Л у б Лз(С). 22. Нусть р(х) — непрерывная положительная функция в облас- ти С. Совокупность (измеримых) функций Дх), для которых функция Освоение о6означения и определения 23. Цилиндрические функции: а) функции Бесселя 1)» 7, гь+ ° ' "(х) = Е Г(й+ + Ц Г(й+ Ц ~~г 7' я=о б) функции Неймана №(х) =, (7„(х) совки —,7,(х)], и ~ н, 1 ~ (а.ц ) „ау „(х)1 в) функции Ханкеля НР~(х) =,7„(х) + з№(х), Н<~~(х) =.7„(х) — з№(х); г) функции мнимого аргумента 7„(х) = е "7~,7„(зх), -оо < х < со; 2 р(х)17(х)~з интегрируема на С, обозначим через Ез,р(С); 7з,р(С)— гильбертово пространство со скалярным лроизведенйем Д, р) ь. (с ) = / Идах.

Глава 1 ПОСТАНОВКИ КРАЕВЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ й 1. Вывод уравнений и постановки краевых задач Условимся в следующих обозначениях: р(х) = р — плотность (линейная, поверхностная, объемная); Те — натяжение струны, мембраны; Š— модуль Юнга; й — — коэффициент упругости упругого закрепления концов струны, стержня или края мембраны; Я вЂ” площадь поперечного сечения стержня, вала и т.д.; у = с„/ся — показатель едиабаты; р,ре - давление газа, жидкости; пз, гло — масса; д — ускорение силы тяжести; ю — угловая скорость; к,й(и),к(т,,и) — коэффициент внутренней теплопроводности; н — коэффициент внешней теплопроводности (коэффициент теплообмена); П вЂ” коэффициент диффузии.