1610840688-354d60f870aa4b4d07a90e025d5836ea (824169), страница 5
Текст из файла (страница 5)
Даны две точки А=(8, — 6, 7) и В=( — 20, 15, 10), Установить, пересекает ли прямая АВ какую-нибудь из осей координат. 112*. Даны четыре точки: А=( — 3, 5, 15), В=(0, О, 7), С=(2, — 1, 4), Р=(4, 3, О). Установить, пересекаются ли прямые АВ и СР, и если пересекаются, то найти точку их пересечения. Система координат аффинная. 113"'. Три последовательные вершины трапеции находятся в точках А=( — 3, — 2, — !), В=(1, 2, 3), С=(9, 6, 4). Найти четвертую вершину Р этой трапеции, точку Л пересечения ее диагоналей и точку В пересечения боковых сторон, зная, что длина основания АР равна !5.
Система координат прямоугольная. 24 ГЛ.1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕВРА 1 111 ф 6. Полярные координаты. Сферические н цилиндрические координаты Александров, гл. 1Ч, 44 4, 5. Моден ов, гл. П, 44 18, 19. П о с т н и к о в, гл. 2, $ 1, п. 5. 1. Полярные наордпналчы на плоскости 114. Дан правильный шестиугольник АВСРЕЕ, длина стороны которого равна 1. Приняв за полюс вершину А, за положительное направление полярной оси — направление векгора АВ, а за положительное направление отсчета углов— направление кратчайшего поворота от АВ к АС, определить в атой системе полярные координаты вершин шестиугольника.
115. Вычислить расстояние между двумя данными точками: 1) А=(2, — 1) и В =(1, —, 2) С=(4, -~~ и Р=(6, — '); 3) Е=(З' 18 ) н Е=(4, 9 1' 116*, Ланы полярные координаты точек А=18, — — ~ н 2Ы В =. (6, --1. Вычислить полярные координаты середины отрезка АВ. 117. Огноснтельно полярной системы координат дана 2Ы точка А=(5, —,).
Найти: 1) точку В, симметричную точке 8 А относительно полюса; 2) точку С, симметричную точке А относительно полярной оси. 118. Относительно полярной системы координат даны точки А=(2, 8-), В= (3, 3 ), С=(1, 2 ), Р=15, и), Е=(5, 0). Какие координаты будут иметь зти точки, если повернуть полярную ось вокруг полюса в положительном направления на угол Зп147 119. Вышслигь площадь треугольника, одна из вершин которого помещается в полюсе, а две другие имеют поляр- ные координаты (4, -"-), (1, — "1, э К ПОЛЯРНЫЕ КООРДИНАТЫ 1ЗО 1 120.
Относительно полярной системы координат даны точки А=(2, -3), В=(~ 2, — ), С=(5, -2-), Р=(3, — 6.) Найти координаты этих точек в соответствующей прямоугольной системе координат. 121. Зная прямоугольные координаты точек А=( — 1,1), В=(0,2), С=(6,0), Р=( — 8, — 6), найти их координаты в полярной системе координат, соответствующей данной прямоугольной. 122. Зная полярные координаты точки: г= 1О, гр=л/6, найти ее прямоугольные координаты, если полюс находится в точке (2, 3), а полярная ось параллельна оси Ох. 123.
Полюс полярной системы координат находигся в точке (3, 5), а положительное направление полярной оси совпздает с ноложи1ельным направлением оси Оу. Найти в этой системе полярные кооринзты точек М,=(9, — 1) и Мя=(5, 5 — 2)' 3). 2. Сферические и цилиндрические координаты 124. Найти сферические координаты точек по нх прямоугольным координатам: А.=( — 8, — 4, !), В=( — 2„ — 2, — 1), С=(0, — 4, 3), Р=(1, — 1, — 1), В=(0, 1, 0). 125. Найти сферические координаты точки М, зная, что луч ОМ образует с осями Ох и Оу углы, соответственно и и равные — и --, и что третья координата точки г= — 1. 4 3' 126. Найти прямоугольные координаты точки, лежащей на шаре радиуса 1, зная ее широту 6=45' и долготу гр=330'.
127з. Найти длину меньшей из двух дуг большого круга, соединяющей две точки А и В, лежащие на шаре радиуса г, зная широту и долготу этих точек А=(1рп Ят), В=(грм 6 ). 128. Найти цилиндрические координаты точек по их прямоугольным координатам: А=(3, — 4, 5), В=(1, — 1, — 1), С=( — 6, О, 8). 129. Найти цилиндрические координаты точки М, зная, чго и и Зи луч ОМ составляет с осями координат углы --, -, и и что длина отрезка ОМ равна 1.
130. Найти угол сс вектора ОМ с осью Ох, зная цилишгрические координаты г, гр, л точки М. 26 Гл.1. БектоРНАя АлГеБРА 1 131 3 7. Скалярное произведение векторов; угол между векторами Александров, гл. 1Ч, 42. М оден о в, гл. 1У, Я 33,39. Постников, гл. 1, 4 5, пп. ! — 5. В задачах этого параграфа, в которых встречаются координаты, система координат предполагается прямоугольной. 131. Дан равносторонний треугольник АВС, длины сторон которого равны 1.
Вычислить выражение (АВ, ВС)+(ВС, СА)+(СА, АВ). 132. В треугольнике АВС даны длины его сторон )ВС(=5, )СА(=6, )АВ~=7. Найти скалярное произведение векторов АВ и ВС. '133. В треугольнике АВС проведены медианы А0„ВЕ и СЕ Вычислить (ВС, А0)+(СА, ВЕ)+(АВ, СЕ). 134. Дан прямоугольник АВС0 и точка М (которая может лежать как в плоскости прямоугольника, так и вне ее). Показать, что: 1) (МА, ЛС)=(МВ, Л0); 2) МАа+МС' = = ЛВа+ Л0а. 135"'.
В треугольнике АВС точка 0 делит сторону АВ в отношении А0: 0В=Х. Выразить длину отрезка С0 через длины а, Ь, с сторон треугольника и число Х. 136". Найти сумму векторов, являющихся ортогональными проекниями вектора а на стороны равностороннего треугольника АВС. 137е. Пусть г — радиус окружности, описанной около правильного н-угольника.
Найти: 1) сумму квадратов длин всех сторон и всех диагонзлей этого многоугольника, выходящих из одной его вершины; 2) сумму квадратов длин всех сторон и всех диагоналей этого многоугольника. 138. Докззать, что при любом расположении точек А, В, С, 0 на плоскости или в пространстве имеет место равенство (ВС, А0)+(СА, В0)+(АВ, С0) =О. нэ ] ф У. СКАЛЯРНОЕ ПРОИЗВЕДЕНИЕ ВЕКТОРОВ 27 139. Доказать, что если в тетраэдре АВС0 два ребра перпендикулярны к противоположным им ребрам, то перпендикулярны и противоположные ребра третьей пары. 140в.
Докззать, что если А, В, С, 0 — четыре произвольные точки (на плоскости или в пространстве), а Р и Π— середины отрезков АС и В0, то (АВ(а+ ~ ВС]а+)С0)Я+)0А(а=! АС(а+(В0)а+4! РО (а. 141*. Даны два вектора а и Ь. Представить вектор Ь в виде суммы двух векторов х и у так, чтобы вектор х был коллинеарен вектору а, а вектор у ортогонален вектору а. 142в. Даны два неколлинеарных вектора а и Ь. Найти вектор х, компланарный векторам а и Ь и удовлетворяющий системе уравнений (а, х)=1, (Ь, х)=0. 143в. Даны три некомпланарных вектора а, Ь, с. Найти вектор х из системы уравнений (а, х)=1, (Ь, х)=0, (с, х)=0. 144*.
Даны два вектора а и Ь. Найти вектор с, являющийся ортогональной проекпией вектора Ь на прямую, направление которой определяется вектором а. 143в. Даны два вектора а и а. Найти вектор Ь, являющийся ортогональной проекпиеи вектора а на плоскость, перпендикулярную к вектору и.
146в. Вычислить длину 1 диагонали 00 параллелепипеда, зная длины ]ОА]=а, (ОВ]=Ь, (ОС]=с трех его ребер, выходящих из одной точки О, и углы х'. ВОС = а, ~ СОА = р, ~ АОВ=у между ними. Найти также косинусы углов, образуемых диагональю 00 с ребрами ОА, ОВ, ОС. 147. К вершине куба приложены три силы, равные по величине 1, 2, 3 и направленные по диагоналям гранеи куба, выходящим из этой вершины. Найти величину равнодействуюгпей этих трех сил и углы, образуемые ею с состав.
ляющими силами. 148. Найти вектор, являющийся ортогональной проекпиеи вектора ( — 14, 2, 5( на прямую с направляющим вектором (2, — 2, 1(. 149. Найти вектор, являю]нийся ортогональной проекпиеи вектора (8, 4, ]( на плоскость, перпендикулярную к вектору (2, — 2, Ц. 28 ГЛ. 1. ВЕКТОРНАЯ АЛГЕБРА [ 100 150*.
Даны три вектора: а=(8, 4, 1(, Ь=(2, — 2, Ц, с=(1, 1, 9(. Найти вектор, «вляюн[ийся ортогональной проекпией вектора с на плоскость, определяемую векторами а и Ь. 151*. Даны два вектора: а =(8, 4, 1(, Ь=(2, — 2, 1(. Найти вектор с, компланарный векторам а и Ь, перпендикулярный к вектору а, равный ему по длине н образующий с вектором Ь тупой угол. 1б2. Определить внутренние углы треугольника с вершинами А = (1, 2, 3), В =(3, О, 4), С = (2, 1, 3). 153.
Одна из вершин параллелепипеда АВСРА'В'С'Р' находится в точке А=(1, 2, 3), а копны выходящих из нее ребер — в точках В=(9, 6, 4), Р=(3, О, 4), А' =(5, 2, 6). Найти длину г[ диагонали АС' этого параллелепипеда и угол, образуемый АС с ребром АВ. 154. Вычислить углы грт, йь гра, образованные противоположными ребрал1и тетраэдра, першины,которого находятся в точках А=(3, — 1, 0), В=(0, — 7, 3), С=( — 2, 1, — 1), Р=(3, 2, 6), В 8, Векторы на ориентированной плоскости.
Плошадь треугольника Александров, гл. [Ъ', 4 3; гл. ЧП, $ 1; гл. !Х, 4 !. М о л е н о в, гл. П, 4 ! 4; гл. !Ъ', 4 40. Постников, гл. 1, 44. В задачах этого параграфа, в которых встречаются координаты, система координат предполагается прямоугольной. 1. Векторы на ориентированной плоскости 1ббе. Дан вектор а=(х, у(. Найти вектор а', перпендикулярный к вектору а, равный ему по длине и направленный так, чтобы упорядоченная пара векторов а, а' имела положительную ориентапию. 156. Даны три вектора:а, = (4, 5(, а,= (2, О(, Ьт= (2, — !(. Найти вектор Ь,, перпендикулярный к вектору Ь, и направленный так, чтобы ориентированные параллелограммы, построенные на парах векторов ат, а, и Ь„ Ья, имели одинаковые площади. !87 1 8 8. ВектОРы нА ОРиснтиРОВАннОИ плоскости 29 157.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
