В.М. Алексеев, Э.М. Галеев, В.М. Тихомиров, Сборник задач по оптимизации (теория, примеры, задачи)

В.М. АЧЕКСЕЕВ 3.М. ГАЛЕЕВ В.М. ТИХОМИРОВ СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОПТИМИЗАЦИИ ТЕОРИЯ ПРИМЕРЫ ЗАДАЧИ Допущеко Министерством высшего и среднего образования СССР в качестве учебного пособия для студентов математических специальностей высших учебных заведений МОСКВА «НАУКА» ГЛАВНАЯ РЕДАКЦИЯ ФИЗИКО-МА"ТЕМАТИг1ЕОКОИ ЛИТЕР ~ТУРЫ 1984 22А8 А 47 УДК 519.6 Сборник задач по оптимизации. Теория. Примеры. Задачи. Учебное пособие. А л е к с е е в В. М., Г а л е е в Э. М., Т и х омиров В. М.— Мл Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1984.

— 288 с. Владимир Михайлович Алексеев, Эл»1дпг Михайлович Галеев, Владимир Михайлович Тихомиров СБОРНИК ЗАДАЧ ПО ОПТИМИЗАЦИИ Редактор Н. Л. Григоренко Техн, редактор Л. В. Лихачева. Корректор Г, В. Псдвсльская ИБ Ми 12229 Сдано в набоР 14.08 83. Подписано к печати 31 01.84. ФоРмат 84Х10811м, Бумага тип. 9И 3. Обыкновенная гарнитура. Высокая печать. Услсвн.

печ. л. 15,12. Условн. кр.-отт. 15,12. Уч.-над. л. 17,9. Тпраж 18 000 зкз. Заказ 74 077. Цена 90 коп. Иадательство «Наука» Главнан редакция фиаико-математической литературы 117071, Москва, В-71, Ленинский проспект, 15 4-я типография издательства «Наука» 830077, Новосибирск, 77, Станиславского, 25 Издательство «Наука», © Главная редакция физико-математической литературы, 1984 1702070000 — 042 67-82 053 ~02)-84 В книге собрано примерно 700 задач на отыскание экстремумов для конечномерного случая, для задач классического вариационного исчисления, оптимального управления и выпуклого программирования, Содержатся элементы функционального анализа, дифференциального исчисления и выпуклого анализа. В книге приведены теория, необходимая для решения задач, и примеры.

Основу решения всех задач составляет единый принцип, восходящий к Лагранжу. Часть задач приведена с решениями. Имеется большое количество трудных задач, которые могут быть использованы в качестве курсовых и дипломных работ. Для студентов вузов по специальностям «Математика» и «Прикладная математика», а также для асфранров и научных работников. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие г> Глава 1, Предварительные сведения и задачи с ограничениями,......,...,... 21 $ 1, Элементы функционального анализа и дифферепцпальпого исчисления,........... 21 1>1. Нормированные и банаховы пространства (21). Упражнения (23). 1.2. Некоторые теоремы из геометрии и функционального анализа (24).

Упражнения (26). 1.3. Леммы (27). 1.4, Определения производных (28). Упражнения (30). 1.5. Основные теоремы дифференциапьпого исчисления в нормированных пространствах (31). Задачи...,.... '., ° °, ° е Зо з 2. Гладкие задачи . 2Л. Элементарные задачи (38), 2.2. Гладкая конечно- мерная задача с ограничениями типа равенств (40). 2.3. Гладкая задача с равенствами и неравенствами (общий случай) (43). 2,4 Примеры (45). 2.5. Необходимые условия высших порядков. Достаточные условия (47). 26, Примеры (51), 2.7. О методе Ньютона (52). Задачи . .

. . . . . . . . . , , . 53 $3. Элементы выпукло>о анализа 3.1. Основные понятия (58). 3.2. формулы выпуклого анализа (60) Задачи . . . . . . . ° Основные теоремы и Упражнения (65). ° ~ ° ° Ф ° 66 з 4. Выпуклые задачи...,....... 68 4.1. Принцип Лагранжа в выпуклом программировании (68). 4.2. Теория двойственности (70). 4.3. Линеиное Введение.

Принцип Лагранжа в теории зкстремальных задач 9 0.1. Основные понятия, связанные с зкстремальпыми задачамп (9). 0.2. Принцип Лагранжа исследования задач с ограничениями (13), Упражнения (19). программирование (73). 4.4. Выпуклый анализ и теория экстремальных задач (74). Задачи 82 Г л а в а П. Классическое вариациопное' исчисление 84 $ 5. Простейшие задачи классического варпационного исчисления 5.1. Задача Больца (84). 5.2.

Простейшая задача классического вариационного исчисления (90). 5.3. Примеры (93). 5.4 Задачи с подвижными концами (97), 5.5. Необходимые условия. высших порядков и достаточные условия. Теорема Боголюбова (102). 5.6. Теория поля. Уравнение Гамильтона — Якоби (107). 5.7. Примеры (111). Задачи 113 $ 7.

Задачи со старшими производными 7.1. Необходимое условие первого порядка (135). 7.2. Необходимые условия высших порядков и достаточные условия (139). Задачи 143 Г л а в а П1. Задача Лагранжа и оптимальное управление 147 $ 8. Задача Лагранжа........, .. 147 8.1. Принцип Лагранжа для задачи Лагранжа (147). Задачи...........,... 155 З 9. Ляпуйовские задачи.........

157 ~ 9.1. Элементарная задача оптимального управления (157). 9.2. Принцип Лагранжа для ляпуновских задач (158). Задачи 161 $10. Задачи оптимального управления 10.1. Принцип максимума Понтрягина (162). 10.2. Принцип максимума и необходимые условия минимума в классическом вариационном исчислении (180). 10.3. Достаточные условия минимума в классическом вариационном исчислении (187). Задачи 4 162 ° 200 $ 6, Изопериметрические задачи . . . . .

. . , 123 6.1. Принцип Лаграняса для изопериметрических задач (123). 6.2. Необходимые условия высших порядков и достаточные условия (129). Задачи Глава 1Ч. Сводный отдел и приложения $11. Сводный отдел т 12. Разные задачи 12 1. Некоторые теоремы анализа и алгебры (218). 12,2. Некоторые неравенства (222). 12.3. Неравенства для производных (226). 12.4.

Геометрические неравенства (229). 12.5, Полнномы наилучшего приближения (23Ц. Ответы, указания и решения Литература Список обозначений Предметный указатель 205 205 218 234 285 286 ПРЕДИСЛОВИЕ Роль методов оптимизации в экономике, технике, естествознании и самой математике огромна. Поэтому в наше время математическое образование немыслимо без элементов теории оптимизации. Теория оптимизации переживает период бурного развития. Всего лишь четверть века тому назад в курсах математики касались лишь двух ее разделов — экстремумов функций многих переменных и вариационного исчисления.

За эти годы сформировались новые дисциплины — выпуклый анализ, линейное и нелинейное программирование, оптимальное управление. Ныне они находят свое место в курсах высшей математики втузов и университетов. Создание этих дисциплин должно, без сомнения, внести новое в преподавание как традиционных разделов теории экстремальных задач, так и некоторых частей классического и функционального анализа. Цель этой кнпги — способствовать тому, чтобы методы теории экстремальных задач заняли достойное место в современном математическом образовании.

Мы рассчитываем на то, что задачник будет использован и в обычных технических вузах, и в технических вузах с углубленным курсом математики, и в университетах. Нам представляется, что при любом уровне преподавания математики должно найтись место для элементов теории экстремальных задач. В нашем задачнике представлены важные разделы этой теории: в $2 — математическое программирование, в Я 5 — 7 — классическое вариационное исчисление, в ~ 10 — оптимальное управление. Эти параграфы являются основными в задачнике. Пункты «Постановка задачи» и «Правило решения» названных параграфов, а так»ке примеры, разобранные в пих, не требуют для своего понимания никаких специальных знаний, кроме основ математического анализа.

Вместе с тем они дают возможность решать ббльшую часть задач этой книги. Таким образом, решать основную массу задач можно, опираясь лищь па обычный втузовский курс дифференциального и интегрального исчисления. В вузах с углубленным изучением математики могут быть использованы теоретические разделы перечисленных параграфов, относящиеся к необходимым условиям экстремума.

Зтот материал мы старались тщательно отработать методически. При доказательствах используются лишь основополагающие факты классического анализа, среди которых важнейшее место занимают теоремы об обратной и неявной функции. Все остальное в теоретической части книги рассчитано на преподавание в университетах. ~ 1 посвящен 'базовым понятиям и теоремам функционального анализа, с помощью которых доказываются важнейшие теоремы теории экстремальных задач. На них же основывается выпуклый анализ. Основам выпуклого анализа посвящен $3. Роль выпуклого анализа в общей теории экстремальных задач раскрывается в ~~ 4, 9. Зтот материал можно использовать в специальных курсах. ~ 8 посвящен общей задаче классического вариационного исчисления — задаче Лагранжа.

Материал ~ 12 призван показать, как можно использовать элементы теории экстремальных задач в курсах алгебры, анализа, геометрии, а также в различных исследованиях теоретического и прикладного характера. Несколько слов об особенностях этой книги. Главная ее особенность состоит в том, что она построена на единой методологии, основывающейся на общем принципе исследования экстремальных задач, восходящем к Лагранжу. Сам принцип излагается во введении. Освоив его, можно приступать сразу к решению задач любого раздела.

Сводный отдел (~ 11) как раз и приспособлен для такой методики решения экстремальных задач. Вторая важная особенность состоит в том, что мы стремились дать исчерпывающее исследование задач. Поэтому в задачнике большее, чем обычно, внимание уделено достаточным условиям. И наконец, мы всюду, где это возможно, старались подчеркивать плодотворность новых методов теории — выпуклого анализа, выпуклого программирования и оптимального управления. В задачнике около 700 задач.

Практически все они снабжены ответамп. Часть задач приведена с решениями. Прп написании книги нашел отражение опыт преподавания курсов оптимизации па механико-математическом факультете МГУ. Задачник примыкает к учебному пособию «Оптимальное управление», написанному В. М. Алексеевым, В. М.

Тихомировым и С. В. Фоминым (Наука, 1979 г.). Но, в отличие от этого пособия, задачник рассчитан на более широкую аудиторию. Поэтому в важнейших частях изложение материала независимо от упомянутого пособия. Работа над задачником едва лишь началась, когда в расцвете своих творческих сил скончался В.

М. Алексеев, очень много сил отдавший разработке и постановке на механико-математическом факультете лекционных курсов и семинарских занятий. Общий замысел этой книги и ее план принадлежат В. М. Тихомирову, теоретические разделы явились плодом нашего совместного труда, в составлении и подборе задач большая доля принадлежит Э. М. Галееву. При работе над разделом «Задачи» мы использовали материалы из архива В. Ы. Алексеева, «Сборник задач по оптимальному управлению», написанный Э. М. Галеевым, А.

Г. Кушниренко и В. М. Тихомировым (ротапринтное издание МГУ, 1980 г.), сборник из 100 задач, подготовленный В. М. Алексеевым и В. М. Тихомировым для французского издания учебного пособия, материалы некоторых учебников и задачников (из тех, что приведе-' ны в списке литературы в разделе «Учебники и учебные пособия») и некоторые ротапринтные издания по оптимизации, любезно присланные нам их авторами, в частности, пособия Казахского, Киевского и Ярославского университетов. Мы рады выразить свою благодарность. сотрудникам кафедры общих проблем управления механико-математического факультета за большую и разностороннюю помощь, особенно — М.