И.И. Ольховский, Ю.Г. Павленко, Л.С. Кузьменков - Задачи по теоретической механике для физиков (1119845), страница 11
Текст из файла (страница 11)
8.38). Окружность вращается с постоянной угловой скоростью а вокруг вертикальной оси, совпадающей с диаметром окружности. Вычислить скорость центра масс стержня в тот момент, когда он расположен горизонтально (в начальный момент времени стержень покоился относительно окружности в вертикальном положении). 8.39. Вертикальная плоскость вращается с постоянной угловой скоростью си вокруг вертикальной оси. К оси прикреплен вершиной однородный круговой конус с углом 2сс при вершние и образую- Динамика твердого тела 1г. в щей длиной й В начальный момент времени ось конуса занимала горизонтальное положение, Предполагая, что плоскость абсолютно шероховатая, найти границы движения конуса (соприкасающегося с вращающейся плоскостью).
8.40. Один конец оси симметричного волчка закреплен, а другой скользит по гладкой вертикально расположенной окружности с центром в точке закрепления волчка. Эта окружность вращается вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью. Написать лагранжиан волчка и найти решение уравнений движения в квадратурах. 8.41. Симметричный волчок закреплен в одной точке. Расстояние от точки закрепления до центра масс волчка равно й Найти решение задачи, исследовать движение быстрого волчка, а также устойчивость волчка при его вращении вокруг вертикальной оси. 8.42.
Методом усреднения рассмотреть движение симметричного волчка с закрепленной точкой (кинетическая энергия волчка велика по сравнению с его потенциальной энергией). рис, ааа 8.43. Шарик движется по шероховатой горизонтальной поверхности, вращающейся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью оз. Найти угловую скорость вращения шарика н закон движения его центра масс.
8.44. Тонкий однородный диск радиуса а катится по шероховатой'поверхности. Найти уравнения движения диска. Исследовать 61 Общий случай рвнженнв 4 З) условия устойчивости при движении диска по прямой линии. 8.45. Обруч радиуса а катится вдоль прямой линии по абсолютно шероховатой горизонтальной поверхности так, что его плоскость остается вертикальной; скорость центра масс обруча равна п, Показать, что при условии оа>1/4да движение обруча устойчиво и при небольших возмущениях его плоскость будет колебаться около вертикали с частотой т ~з 3/8оа — 28 а.
8.46. Центр однородного тонкого диска массы т радиуса а скреплен с концом оси, перпендикулярной поверхности диска 1рис. 8.46). Другой конец оси (длина оси Ь) шарнирно закреплен на расстоянии а от горизонтальной шероховатой плоскости, по которой диск катится без проскальзывания, Найти реакции связей в точке а шарнирного закрепления оси и в точке Ь касания диска с плоскостью. 8.47. Центр масс симметричного спутника движется по окружности радиуса га вокруг Земли. Написать уравнения, определяющие положение спутника относительно плоскости орбиты и радиуса-вектора, проведенного из центра Земли в центр масс спутника.
8.48. Исследовать прецессию и нутацию оси симметрии Земли, обусловленную силами притяжения со стороны Солнца. ГЛАВА 9 Уравнения Гамильтона $ т. Канонические уравнения. Скобки Пуассона 9.1. Материальная точка движется по гладкой поверхности кругового конуса с вертикальной осью; раствор конуса направлен вверх, угол раствора 2а.
9.2. Найти канонические уравнения материальной точки, движущейся в однородном гравитационном поле по гладкой сферической поверхности (радиус сферы изменястся по закону т=г(х)), 9.3. Записать уравнения Гамильтона для заряда в постоянном однородном магнитном поле и электрическом поле с потенциалом у. Получить интегралы движения в случае 9=0, 9.4. Рассматривая углы Эйлера в качестве обобщенных координат твердого тела с одной неподвижной точкой, получить функцию Гамильтона для этого тела.
Получить динамические уравнения Эйлера из уравнений Гамильтона. 9.5. Найти траекторию одномерного гармонического осциллятора в фазовом пространстве, 9.6. Показать, что уравнения Гамильтона можно записать в виде —.=(Р„Н), — =(фо Н) (з = 1,...,з), симметричном относительно канонических переменных', 9.7.-Показать, что для функции /(с/, р, /) канонических переменных имеют место соотношения (ч, /) = —; (р„/) = — —. д/ д/ дрз ' " дух 9.8. Показать, что функция / = х — р//ш является интегралом движения свободной частицы в отсутствие внешних сил. 9 9.
Доказать, что скобки Пуассона а) (М,р') = О; б) (М,г') = О. ' Здесь н далее длд скобки Пуассона от фуикии» /~ и /х канонических переменных нсподьзуетсд обозначение (/ь /х). 4 1) Канонические у авнения Скобки Пуассона 9.10 С помощью скобок Пуассона показать, что импульс Р системы является интегралом движения, если ее гамильтониан инвариантен относительно цронзвольного параллельного переноса системы в пространстве, 9.11. Используя скобки Пуассона, показать, что обобщенный импульс р, является интегралом движения, если гамильтониан Н(ч1..
до р|...р,) инвариантен относительно преобразования Ь-'"Ч = Ча+бчь 9.12. С помощью скобок Пуассона показать, что кинети- ческий момент системы сохраняется, если ее гамильтониан %ч Р,' Н =,7 — + У(г„..., ги) ннвариантен относительно произволь- ного бесконечно малого поворота системы. 9.13. Используя скобки Пуассона, показать, что при движении частицы в поле Н()г~) сохраняется ее момент импульса.
9.14. Пусть гамильтониан системы явно не зависит от времени. Доказать, что значение функции Р(д(1), р(1)) канонических пере- менных в момент времени 1 выражается через значение Р(д(0), р(0)) в момент времени 1=0 формулой О Р(4(1), Р(1)) = Р(0) + ~~1з — „, (( ((РН) Н) ° ) Н)о:и, и=1 где д(1), р(1) — удовлетворяют уравнениям движения, а Р(0) =Р(д(0), р(0)). Вычислить с помощью этой формулы х(1) и р(Г) для одномерного гармонического осциллятора, 9.15. Одномерный точечный осциллятор взаимодействует с полем излучения, гамильтониан которого Н = — ~ (ок+сааф). я Взаимодействие с этим полем учитывается заменой в гамильтониае не невозмущенного полем осциллятора импульса р на р — -А(г), где вектор-потенциал поля имеет вид А(г) =) д,А,(г) (А,— вектор- потенциал поля излучения и-той моды).
Написать уравнения Гамильтона для системы осциллятор+поле излучения в приближении А(г) жА(0). 9.16. Гамильтониан молекулы, взаимодействующей с излучением, имеет вид Н=Н6>+Нг+Н,„, где Нбп — гамильтониан, не- 1 возмущенный полем молекулы; Н~ — — — Х (р,'+ совф — гамильто- [Гл 9 Уравнения Гамильтона ниан поля излучения; Н,а=ХВар, — энергия взаимодействия, причем В, = а' — ' (р,А,(г,)) (индексом ч обозначены величины, л / атно относящиеся к определенной моде поля излучения, индексом з обозначены номера атомов), Используя скобки Пуассона, найти изменение энергии й-той моды, обусловленное взаимодействием с молекулой.
$2. Уравнение Гемкпьтеиа — Якоби 9.17. Найти деиствие материальной точки, движущейся в отсутствие поля н проходящей через точки гт=г(11) н г,=г(1а). 9.18. Найти действне одномерного гармоьического осциллятора, проходящего через точки х1 — — х(11), ха=х(1а). 9.19. Найти действие для одномерного осцнллятора с переменной частотой ат(1). 9.20. Найти действие для заряда, движущегося в однородном магнитном поле. 9.21. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби для точки движения точки. 9.22. Составить уравнения Гамильтона — Якоби для точки, движущейся в однородном гравитационном поле.
Найти полный интеграл этого уравнения, а также траекторию и закон движения точки. 9.23. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби для тела, движущегося по гладкой наклонной плоскости, составляющей угол а с горизонтом. 924. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби для математического маятника и закон его движения в квадратуре. 9.25.
Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби для электрона, движущегося в постоянном однородном магнитном поле (в декартовых координатах) Найти также закон движения электрона и его траекторию. 9 26. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби для заряда, движущегося в постоянном однородном магнитном поле (в цилиндрических координатах). Получить закон движения и траекторию в квадратурах. 9.27, Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби для электрона, движущегося во взаимно-перпендикулярных постоянных и однородных электрическом н магнитном полях.
9.28. Найти полный интеграл уравнения Гамильтона — Якоби для заряда, движущегося в поле волны с вектором-потенциалом А=асозатй Найти закон движения заряда. 9.29. Однородный стержень массы и скользит по гладкой вер- 65 Канонические преооразовании иариационные принципы тнкальной плоскости, вращающейся вокруг вертикальной оси с постоянной угловой скоростью со (7 — главный центральный момент стержня). Найти полный интеграл уравнения Гамильтона— Якоби для стержня. Определить закон движения стержня. 9.30. Исходя из уравнения Гамильтона — Якоби, получить уравнение, выражающее второй закон Ньютона. 5 3. Канонические преобразования.
Интеграпьные вариационные принципы 9 3!. Нанти каноническое преобразование, соответствующее производящей функции Фз(ч, («, 7) =ХЧД,. 9.32. Показать, что производящая функции Фв(д,Р) =Хч71Р определяет тождественное каноническое преобразование. 9 33 Показать, что выражение ~ (р,бд,— ~,б(7,) является полным диффереппиалом относительно 2з переменных с7, Я, если «старые» и «новые» переменные подчинены каноническому преобразованию 9.34 Найти каноническое преобразование, соответствующее производяьцсй функции Фв(ч)зеузз7) =дчуз+(Ьд — аР)7, где а, Ь вЂ” константы. Записать и новых переменных уравнения Гамильтона 9.35. Найти каноническое преобразование, задаваемое производящей функцией Ф, = — ы (7) дз с(й е7. 2 Записать уравнения движения в переменных с7, Р для осциллятора с переменной частотой.
9.36 Известна функция Гамильтона системы с двумя степенями свободы 2 Нанти козффициенты аь ае производящей функции канонического преобразования Фз п7 ((7~ ( че) сск ~2~ + п~ (9з — Д~) с(й Яе, при котором гамильтониан приобретает вид У =-,У, + У'З,У",. Найти собственные частоты и главные координаты системы. 3 зак« (Гл, 9 Уравнения Гамильтона 9.37. Показать, что гамнльтониан является инвариантом при бесконечно малом каноническом преобразовании с производящей функцией о(д, Р) =- ~д,Ф, +аг(д, т-'), где и << 1, а 7(д, Ф) — интеграл движения.
9.38. Найти уравнение, которому удовлетворяет производящая функция о (д, Р, 1), порождающая каноническое преобразоватше к постоянным импульсам и координатам. 9.39. Найти производящую функцию и каноническое преобразование, обращающее новый гамильтониан Я осциллятора в нуль. 9.40. Получить уравнение Лагранжа для голономных систем из принципа наименьшего действия. 9.41. Вывести уравнения Лагранжа для системы с идеальными линейными неголономными связями из интегрального вариационного принципа. 9.42.
![](https://s.studizba.com/z.php?f=/templates/si/i/noavatar.png&w=100&h=100&t=1"){kind=avatar}
