И.А. Виноградова, С.Н. Олехник, В.А. Садовничий - Математический анализ в задачах и упражнениях

И. А. Виноградова, С. Н. Олехник, В. А. Садовничий МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В ЗАДАЧАХ И УПРАЖНЕНИЯХ Допуптено Государственяым комитетом СССР по народному образованию в качестве учебного пособия для студентов вузов ИЗДАТЕЛЬСТВО МОСКОВСКОГО УНИВЕРСИТЕТА !991 ББК 22.161 В48 УДК 517(075.8) Рецензенты: кафедра высшей математики МИФИ, чл..кор. АН СССР Л Д. Кудрявцев Пособие составлено на материале занятвй по курсу математического анализа на П курсе механико-математического факультета МГУ и отрахсает опыт преподавания кафедры математического анализа.

Перед задачами приводятся развернутые методические указания. В них даны все используемые в данном параграфе определения, формулировки основных теорем, вывод некоторых соотношений, приведены подробные решения характерных задач, обращено внимание на часто встречающиеся ошибки. Содержание задач и упрагкнений согласовано с теоретическим курсом математического анализа. Ббльшая часть задач и упражнений отлична от задач, содержащихся в известном задачнике Б. П.

Демидовича. Для студентов математических специальностей университетов и педвузов и студентов технических вузов с углубленным изучением магематнческого анализа. 1602070000(4309000000) †1 В 74 — 91 077(02) — 91 Учебное издание ББК 22.101 Виноградова Ирина Андреевна Олехник Слав Николаевич Садовничий Виктор Антонович МАТЕМАТИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ В ЗАДАЧАХ И УПРАЖНЕНИЯХ Зав. редакцией Н, М. Глазкова Редактор Л.

А. Николова Художественный редактор Л. В. Мухина Технический редактор Н. и. Смирнова Корректоры М. И. Эльмус, Н. И. Коновалова ИБ № 4102 Сдано в набор 280391, Подписано в печать 19.11.91. Формат 60Х90/16 Бумага тип. № 2 Гарнитура литературная. Высокая печать. Уел. печ. л. 22 Уч.-изд. л. 23,81 Тираж 17.000 экз. Заказ 68. Изд. № 1757 Цена 4 р. 05 к. Ордена «Знасс Понес а» издательство Московского университета.

103009, Москва, ул Герцена, 5/7. Типография ордена «Знак Почета» изд-ва МГУ. 119899, Мог«ва, Ленинские горы © Виноградова И. А., Олсхннк Г. И., Садовничий В. А., 1991 г. 18В)Ч 5 — 211 — 01559 — 2 В48 Виноградова И. А., Олехник С. Н., Садовничий В. А. Математический анализ в задачах и упражнениях: Учеб. пособие. — Мл Изд-во Моск. ун-та, 1991. — 852 с. 1ЬВЫ 5 — 211 — 01559 — 2. ОГЛАВЛЕНИЕ Предисловие Глава 1. Интегральное исчисление функций многих переменных $1. Определение и общие свойства интеграла от функции 7:17"-~й $2.

Двойной интеграл. Его геометрические я мехияические приложения 1. Теорема Фубинн 2. Замена переменных в двойном интеграле. Переход к полярной н обобщенной полярной системам координат 3, Площадь поверхности и ее вычисление 4. Площадь плоской фигуры и объем пространственного тела 5.

Механические приложения двойного интеграла $ 3. Тройной интеграл. Его геометрические и механические приложения . 1. Общие свойства. Теорема Фубиии 2. Замена переменных. Переход к цилиндрическим, сферическим н обобщенным сферическим координатам 3. Объем тела 4. Механические приложения тройного интеграла 6 4. Несобственный кратный интеграл Задачи Ответы Глава 11. Криволинейный и поверхностный интегралы первого рода 1, Криволинейный интеграл первого рода 2. Г1оверхиостпый интеграл первого рода Задачи Ответы Глава 111. Криволинейный и поверхностный интегралы второго рода.

Векторный анализ $ 1, Ориентация кусочно-гладкой кривой 1.~17з и кусочно-гладкой поверхности 3~11" $2, Дифференциалы<ые формы в курсе анализа. Интегрирование дифференциальных фарм. Общие сведения я 3. Криволинейный интеграл второго рода 9 4. Поверхностный интеграл второго рода 4 5. Векторный анализ й 2". Криволинейный интеграл второго рода $3». Поверхностный интеграл второго рода $4ч.

Векторный анализ Задачи Ответы Теоретические задачи 20 20 43 58 67 71 75 75 90 103 108 113 127 157 184 184 198 205 216 220 229 247 255 263 278 289 301 319 337 340 пРедислОВие В 1988 г. в Издательстве МГУ вышел в свет сборник авторов «Задачи и упражнения по математическому анализу». В этот сборник вошел материал, соответствующий первому году обучения по курсу математического анализа на механико-математических факультетах университетов.

Настоящий задачник соответствует курсу математического анализа, излагаемого на втором курсе, и соответствует материалу одного семестра. Сборник посвящен интегральному исчислению функций многих переменных. Он содержит следующие разделы: «Кратный интеграл», «Криволинейный и поверхностный интеграл первого рода», «Криволинейный и поверхностный интеграл второго рода». Так же, как и в первой книге, авторы ставили своей целью не только привести списки задач и дать ответы, а стремились привести необходимые теоретические сведения и, главное, дать подробные методические указания, привести типичные алгоритмы, пригодные для решений целых классов задач.

Обращается внимание на типичные ошибки, допускаемые при решениях, разобраны наиболее характерные задачи. Вслед за изложением методических указаний приводятся за. дачи и упражнения вычислительного характера. Все предлагае. мые задачи снабжены ответами. Следует заметить, что в основном задачи и упражнения ранее ие встречались в известных задачниках по математическому анализу и являются в определенном смысле новыми. В сборнике имеется еще одна особенность. Материал третьей главы изложен двумя способами. Интегральное исчисление строится с использованием дифференциальных форм и в более классическом виде — без их использования.

Это соответствует сложившейся ситуации чтения данного раздела математического анализа в университетах страны. Структура построения предложенного задачника аналогична структуре упоминавшейся книги «Задачи и упражнения по математическому анализу». Авторы выражают искреннюю благодарность сотрудникам кафедры математического анализа механико-математического факультета МГУ им.

М. В. Ломоносова за полезные замечания, предложения, участие в обсужденги. Авторы особо благодарны Ю. А. Казьмину, прочитавшему рукопись н сделавшему ряд полезных предложений н замечаний, а также И. Г. Царькову н В. Е. Подольскому за обсуждение отдельных частей рукописи. ГЛАВА 1 ИНТЕГРАЛЬНОЕ ИСЧИСЛЕНИЕ фуНКЦИИ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ й Е ОПРЕЦЕЛЕНИЕ И ОБШИЕ СВОЙСТВА ИНТЕГРАЛА ОТ ФУНКЦИИ 1: Н"-~К О яр од еле н и е. Множество 1=(х, х~)1", ае<х;<Ьо 1<ь<п) называется стандартным относительно осей координат брусом в Я" (п-мерным брусом, или промежутком). Если необходимо отметить точки а=(а!, ам ...„а„) и Ь=(Ь!, Ь...

Ь ), то применяется обозначение 1,, ь. Другими словами, промежуток в 11 есть декартово произве- дение отрезков, лежащих на координатных осях. О п р е д е л е н и е. Число П(Ь,— и!) называется п-мерным объ!=.! емом бруса 1,,ь и обозначается ~1,,ь|. Гели размерность бруса ясна из контекста, то вместо термина «и-мерный объемь используется термин «объем>, Определение. Пусть задан брус 1„ьс:)1 . Разбиения Ть 1(1(п, координатных отрезков (а„Ь,,', !(! =п, с диаметром А(Т!) индуцируют разбиение бруса 1,,!, на более мелкие проме- жутки 1е, 1(а(О, получающиеся декартовым произведением промежутков разбиения отрезков (аь (!!), 1(!(п.

Представление бруса 1,,ь в виде 1,ь=- Ц 1е называется разбиением бруса 1,ь е — -1 и обозначается символом Т. Величина й(Т) = — щах Х(Т,) называ! «я!~и ется параметром разбиения Т. Пусть функция 1:1- Я ограничена на 1 н Т вЂ” разбиение 1. По- ложим М = анр 1'(х), 1(д(Я, т,= 1п1 )(х), 1(д(1',!, «еее кеее а а З(Т, )).—. Т М,)1«), . (т, () — ~ пе,11е(, е=! (У) ~~(х)ь(х=)п15(Т, ))=-«Т, (1) ))ь(х=-зпрз(Т, ))=У. т т Для любой ограниченной функции 1': 1 — е-)1 имеем 5'(У. Определение. Если У=,т=,т, то функция 1:1е-)1 называется интегрируемой по Риману на 1 и число 5' называется интегралом Римана от 1 по 1 и обозначается 1111х. ! Это определение эквивалентно такому: пусть Т вЂ” разбиение и ($,), ~ — совокупность точек ~„1<д<Я, таких, что $,едуч, е ! ч 1<д<Я; функция [, 1-э)г" интегрируема на Г, если 1пп 7 [($ )~уч~ мт~ о' существует и не зависит от выбора точек ($,ф ~ и разбиения Т.

Данное определение аналогично определению интеграла Римана на отрезке [а, Ь1 (а<Ь), т. е. случаю п=1. Сходство определения подчеркнуто и формой записи подынтегрального выражения [йх. Равносильные, но более развернутые обозначения рассматриваемого интеграла такие: [ (х,, х,, ..., х„) йх, йх,... дх„, ° ) 1(хм хм ..., х„)дх~г(х ... дх„, п газ с 3 а м е ч а н и е. Для функции одной переменной ):Р-э.)г и ь промежутка [а, Ь1с:д, а<Ь, имеет смысл как символ 11йх, так а Я ь и символ ) ) с(х= — ~ [дх, т. е.

интеграл Римана от функции одь а ного действительного переменного определяется по направленному промежутку. В пространстве же Я", п~-2, понятие направленного промежутка не вводится. Если и в пространстве Я рассматривать толь о такие промежутки [а, Ь1, для которых а<Ь, то в дальнейшем при рассмотрении )г" можно считать и любым натуральным числом, в том числе и единицей. Чтобы подчеркнуть, что речь идет об интеграле от функции многих переменных на брусе !с:и" (и) 2), говорят, что это кратный интеграл (двойной, тройной и т. д. в соответствии с размерностью й"). Определен не. Множество М~)г' называется множеством меры нуль в смысле Лебега (короче, множеством меры нуль), если для любого в>0 существует покрытие множества М не более чем счетной системой (1ч)=-, п- мерных промежутков, сумма СО объемов которых ~ Р ~ пе превышает е.

а=~ Некоторые свойства множеств меры нуль в смысле Лебега. 1, Точка есть множество меры нуль. 2. Объединение конечного или счетного числа множеств меры нуль есть множество меры нуль. В частности, всякое не более чем счетное множество есть множество меры нуль. 3. Подмножество множества меры нуль есть множество меры нуль. 4. Пусть Р~й — замкнутое ограниченное множество и функция 1: Р— й непрерывна на Р.

Тогда множество Мс: й'+': М.=-((х„х„..., х„, у): х.=(х„хм ..., х„) евР, У=1(х)) (график функции у на Р) есть множество меры нуль. Заметим, что никакое открытое множество Ос:й не является множеством меры нуль. Так, например, интервал (а, (>)с:й есть открытое множество в пространстве й и тем самым не есть в этом пространстве множество меры нуль.