ВКР: Топология слоений Лиувилля интегрируемого случая Адлера-ван Мербеке на алгебре Ли вращений четырехмерного пространства

1 Введение
В настоящей работе исследуется интегрируемая гамильтонова система случая Адлера—ван Мёрбеке. Начата работа по исследованию топологического типа изоэнергетической поверхности Q3 H.
2 История вопроса
Случай интегрируемости, найденный М. Адлером и П. ван Мёрбеке, до сих пор является в динамике твердого тела одним из наиболее сложных и наименее изученных [4]. В статье [5] указаны гамильтониан и коммутирующий с ним интеграл четвертой степени. А. Рейман и М. Семенов-ТянШанский позже указали для этого интегрируемого случая спектральное представление Лакса [11]. В 2014-2015 годах были найдены точки ранга ноль отображения момента, установлен их тип (седло-седло, седло-центр, центр-центр). П. Е. Рябов нашел бифуркационную диаграмму отображения момента. Для этого пришлось несколько преобразовать дополнительный интеграл. Существование этого интегрируемого случая связано с особой симметрией so(4), допускающей вещественное представление в виде прямой суммы so(3) ⊕ so(3); он отсутствует на so(3, 1) и его многомерные обобщения пока что не найдены.
3 Основные обозначения
Определение 1. Симплектической структурой на гладком многообразии M называется дифференциальная 2-форма w, удовлетворяющая двум условиям: 1. dw = 0 2. w невырождена в каждой точке многообразия, т.е. в локальных координатах det Ω(x) 6= 0, где Ω(x) = (wij (x)) — матрица формы. Многобразие, снабженное симплектической структурой, называют симплектическим. Пусть H — гладкая функция на симплектическом многообразии (M, w). Определим для этой функции вектор кососимметрического градиента sgrad(H) из тождества: w(v,sgrad(H)) = v(H), где v — произвольный касательный вектор, v(H) — производная функции H вдоль v. Определение 2. Векторные поля вида sgrad(H) называются гамильтоновыми векторными полями. Функция H называется гамильтонианом векторного поля sgrad(H).
Гамильтоновы поля сохраняют симплектическую структуру w. Определение 3. На пространстве всех гладких функций на симплектическом многообразии M можно ввести операцию скобки Пуассона по следующему правилу. Пусть f, g — две гладкие функции. Положим по определению {f, g} = w(sgrad(f),sgrad(g)) Две функции коммутируют, если {f, g} = 0. Функции, коммутирующие с гамильтонианом, называются первыми интегралами гамильтонова векторного поля v = sgrad(H). Иногда вместо симплектической структуры на многообразии при построении гамильтоновой механики в качестве исходной структуры берут скобку Пуассона, при этом необязательно невырожденную. Пример вырожденной скобки Пуассона — скобка Ли-Пуассона ([1]). 3.1 Обозначения, используемые в курсовой